τριγωνομετρική εξίσωση

stuart clark · #1

i) Αν $\displaystyle{\tan x+\sin x =\frac{5}{6}},$ τότε $\tan x\times \sin x$

ii) Αν $\displaystyle{\cos x = \tan y,\cos y = \tan z,\cos z = \tan x}$ και $\displaystyle{1234 \sin x+1342 \sin y+1423 \sin z = k \sin 18^0}$ .τότε k= ,

όπου $\displaystyle{0 < x,y,z < 90^0}$

Γιώργος Απόκης · #2

Μια απόπειρα για το α)

Από τη δοσμένη, έχουμε: $\displaystyle{tanx+sinx=\frac{5}{6}\Leftrightarrow\frac{sinx}{cosx}+sinx=\frac{5}{6}\Leftrightarrow sinx=\frac{5cosx}{6(1+cosx)}}$ (1)

Ισχύει $\displaystyle{sin^2x+cos^2x=1 \overset{(1)}\Leftrightarrow \frac{25cos^2x}{36(1+cosx)^2}+cos^2x=1 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow 36cos^4x+72cos^3x+25cos^2x-72cosx-36=0}$ (2)

Θέτοντας w=cosx

η (2) γίνεται $\displaystyle{36w^4+72w^3+25w^2-72w-36=0}$ η οποία "παραλίγο" να είναι αντίστροφη...

Έχω ελέγξει τις πράξεις, αν κάποιος έχει μια καλή ιδέα για να συνεχίσουμε...

Γιώργος Απόκης · #3

Να σημειώσω ότι έλεγξα για ακέραιες ρίζες (δεν υπάρχουν) και με δυο Bolzano είδα ότι υπάρχει

μια τουλάχιστον ρίζα σε καθένα από τα (-1,0) και (0,1).

Εdit: Με μια πρόχειρη μονοτονία είδα ότι δεν υπάρχουν άλλες πραγματικές!

stuart clark · #4

(1) $\displaystyle{\tan x+\sin x=\frac{5}{6}}$

$\displaystyle{\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1-\tan^2\frac{x}{2}}+\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}=\frac{5}{6}}$

ας $\tan \frac{x}{2}=t$

$\displaystyle{\frac{2t}{1-t^2}+\frac{2t}{1+t^2}=\frac{5}{6}}$

$\displaystyle{5t^4+24t-5=0}$

Τώρα χρησιμοποιώντας γράφημα μία τιμή σε (-2,-1)

και άλλα

αλλά δεν παίρνει καμία ιδέα για το πώς να υπολογίσει $\tan x\sin x$

#5

stuart clark έγραψε:(1) $\displaystyle{\tan x+\sin x=\frac{5}{6}}$

$\displaystyle{\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1-\tan^2\frac{x}{2}}+\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}=\frac{5}{6}}$

ας $\tan \frac{x}{2}=t$

$\displaystyle{\frac{2t}{1-t^2}+\frac{2t}{1+t^2}=\frac{5}{6}}$

$\displaystyle{5t^4+24t-5=0}$

Τώρα χρησιμοποιώντας γράφημα μία τιμή σε και άλλα

αλλά δεν παίρνει καμία ιδέα για το πώς να υπολογίσει $\tan x\sin x$

$\tan x\sin x=\displaystyle{\frac{2t}{1-t^2}\frac{2t}{1+t^2}=t\frac{4t}{1-t^4}=t\left( \frac{2t}{1-t^2}+\frac{2t}{1+t^2}\right)=\frac{5t}{6}}$

Επομένως, όσο υπολογίζεται το t από την εξίσωση $\displaystyle{5t^4+24t-5=0}$ , τόσο, επί 5/6, υπολογίζεται και το $\tan x\sin x$ !!...

#6

stuart clark έγραψε:
ii) Αν $\displaystyle{\cos x = \tan y,\cos y = \tan z,\cos z = \tan x}$ και $\displaystyle{1234 \sin x+1342 \sin y+1423 \sin z = k \sin 18^0}$ .τότε όπου $\displaystyle{0 < x,y,z < 90^0}$

$\cos x = \tan y\Rightarrow \cos^2 x = \tan^2 y\Rightarrow \frac{1}{1+tan^2x}=tan^2y$

Αν a=tan^2x,b=tan^2y,c=tan^2z,

τότε

$\frac{1}{1+a}=b,\frac{1}{1+b}=c,\frac{1}{1+c}=a$

Από εδώ a=b=c

, άρα $tanx=cosx\Rightarrow sin^2x+sinx-1=0\Rightarrow sinx=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Ώστε, τελικά

sinx=siny=sinz=2sin18^o

κ.λπ.

τριγωνομετρική εξίσωση

τριγωνομετρική εξίσωση

Re: τριγωνομετρική εξίσωση

Re: τριγωνομετρική εξίσωση

Re: τριγωνομετρική εξίσωση

Re: τριγωνομετρική εξίσωση

Re: τριγωνομετρική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση