Μεγιστος Συντελεστης

papel · #1

Να βρεθει ο μεγιστος διωνυμικος συντελεστης κατα την αναπτυξη της παραστασης :

$\displaystyle{\displaystyle {\left( {ax + \beta } \right)^{10}}}$

οπου α και β πραγματικοι θετικοι ακεραιοι με α<β.

#2

papel έγραψε:Δεδομενου οτι υπαρχει μια αγαπη απο καποιο θεματοδοτη του ΑΣΕΠ για το
διωνυμικο συντελεστη ας δουμε το επομενο θεμα.

Να βρεθει ο μεγιστος διωνυμικος συντελεστης κατα την αναπτυξη της παραστασης :

$\displaystyle{\displaystyle {\left( {ax + \beta } \right)^{10}}}$

οπου α και β πραγματικοι θετικοι ακεραιοι με α<β.

(Απεφυγα να βαλω τα α,β γνωστα νουμερα διοτι τοτε το λογισμικο Mathematica θα εδινε αμεσως την λυση.
Ας προβαλουμε λοιπον τον θεματοδοτη.)

Ενδιαφέρον.

Υπόδειξη: Το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι
$\frac{\begin{pmatrix} 10\\ k \end{pmatrix} a} {\begin{pmatrix} 10\\ k+1 \end{pmatrix}b} = \frac{(k+1)a}{(10-k)b}$

που είναι μονότονη συνάρτηση του k. Άρα το μέγιστο (δεδομένου ότι b > a) είναι εκεί που η παράσταση αυτή θα γίνει για πρώτη φορά >1.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

papel · #3

Ας προσθεσουμε μερικα πραγματα στην υποδειξη του κ.Λαμπρου σχετικα με το προβλημα
που τεθηκε παραπανω.
Καταρχας ο διωνυμικος συντελεστης οριζεται ως ακολουθως :

$\displaystyle{\displaystyle C_r^n = \frac{{n!}}{{r!\left( {n - r} \right)!}}}$ .

Ο r -ορος κατα την πληρη αναπτυξη της αλγεβρικης ποσοτητας ειναι ο :

$\displaystyle{\displaystyle C_r^n \cdot {\left( {a \cdot x} \right)^r} \cdot {\left( \beta \right)^{n - r}}}$ (1)

Στην συνεχεια θεωρουμε τον λογο του r+1-ορου του αναπτυγματος προς τον r-ορο ως ακολουθως :

$\displaystyle{\displaystyle l = \frac{{C_{r + 1}^{10}{a^{r + 1}}{\beta ^{9 - r}}}}{{C_r^{10}{a^r}{\beta ^{10 - r}}}} = \frac{a}{\beta } \cdot \frac{{10 - r}}{{r + 1}}}$

Για να δουμε ποια ειναι η μεγιστη τιμη του συντελεστη πρεπει να γνωριζουμε ποτε ο λογος l ειναι μεγαλυτερος
και ποτε μικροτερος του 1 .Ετσι θετουμε

$\displaystyle{\displaystyle l > 1}$

και προσδιοριζουμε την τιμη του r για την οποια εχουμε μεγιστη τιμη.Ποια ειναι αυτη ?
Αντικαθιστουμε την τιμη του r στην (1).

Χρησιμο Λημμα .Αποδεικνυεται οτι ισχυει : $\displaystyle{\displaystyle \frac{{C_{r + 1}^{n + 1}}}{{C_r^n}} \ge 2 \cdot \sqrt {\frac{{n - r}}{{r + 1}}} }$

(Αφηνεται σαν ασκηση για οποιον ενδιαφερεται)

Μεγιστος Συντελεστης

Μεγιστος Συντελεστης

Re: Μεγιστος Συντελεστης

Re: Μεγιστος Συντελεστης

Μέλη σε σύνδεση