Ρίξε μια ζαριά καλή !

KARKAR · #1

Στο τεύχος 2 του Ιανουαρίου 1975 του περιοδικού της Ε.Μ.Ε. "Μαθηματική Επιθεώρηση" , δημοσιεύεται διάλεξη του

Ανδρέα Φιλίππου ,που δόδηκε τις 13-11-1974 , με τίτλο : "Παιγνίδια τύχης , η αρχή και η εξέλιξη της Πιθανοθεωρίας "

Εκεί , λοιπόν , αναφέρονται ( μεταξύ πολλών άλλων ) και τα εξής 2 ενδιαφέροντα ερωτήματα :

1) Ποιός είναι ο μικρότερος αριθμός ρίψεων 2 ζαριών , για τον οποίο συμφέρει να στοιχηματίσουμε , ότι θα φέρουμε "εξάρες" ;

2) Ρίχνουμε 3 ζάρια και θεωρούμε ένδειξη το άθροισμα των ενδείξεων των πάνω εδρών . Συνεχίζουμε τις ρίψεις μέχρις ότου ,

η ένδειξη 11 , εμφανισθεί 11 φορές .

Για να συμβεί αυτό συμφέρει να στοιχηματίσουμε , ότι θα απαιτηθεί άρτιος , ή περιττός αριθμός ρίψεων ;

*Το πρώτο ερώτημα είναι διάσημο , λύθηκε από τον Pascal (η απάντηση είναι 25 ), αλλά δεν δημοσιεύεται λύση .

Το δεύτερο είναι αναπάντητο στη συγκεκριμένη διάλεξη . Ίσως απαντηθεί εδώ ...

parmenides51 · #2

η εν λόγω διάλεξη εδώ

#3

Ας κοιτάξουμε το δεύτερο.

Έστω

η πιθανότητα σε μια συγκεκριμένη ρίψη των τριών ζαριών να έχουμε άθροισμα 11 και έστω q = 1-p

. Προφανώς 0 < p < 1

. Όπως θα δούμε πιο κάτω δεν χρειάζεται να το υπολογίσουμε.

Πρώτος τρόπος: Η πιθανότητα το πρώτο 11 να έρθει μετά από περιττό αριθμό ρίψεων ισούται με $\displaystyle{p + q^2p + q^4p + \cdots = \frac{p}{1-q^2} = \frac{1}{1+q} > \frac{1}{2}.}$ Άρα συμφέρει να στοιχηματίσουμε στις περιττές ρίψεις.

Δεύτερος τρόπος: Αν

η πιθανότητα να κερδίσουμε αν στοιχηματίσουμε στις περιττές ρίψεις τότε P = p + (1-p)(1-P)

αφού υπάρχει πιθανότητα

να κερδίσουμε στην πρώτη ρίψη ενώ αν χάσουμε στην πρώτη ρίψη (με πιθανότητα 1-p

) είναι σαν να παίζουμε το ίδιο παιχνίδι από την αρχή αλλά ποντάροντας στις άρτιες ρίψεις. Τότε όμως μετά από πράξεις καταλήγουμε ότι P = 1/(1+q) > 1/2

. [Διαφορετικά από το P = p + (1-p)(1-P)

παίρνουμε

οπότε

.]

ealexiou · #4

Έχουμε ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία-αποτυχία) με πιθανότητα επιτυχίας, να φέρουμε “εξάρες”, $p= \dfrac{1}{36}$ και αποτυχίας $(1-p)= \dfrac{35}{36}$ που θα επαναληφθεί

φορές.
Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή

που εκφράζει τον αριθμό των επιτυχιών. Η πιθανότητα να έχουμε

επιτυχίες σε

ανεξάρτητα πειράματα με πιθανότητα επιτυχίας

δίνεται από τον τύπο της διωνυμικής κατανομής :
$P(X=k)= \begin{pmatrix}n \\k\end{pmatrix} p^{k} (1-p)^{n-k}$
Για να συμφέρει το στοίχημα πρέπει η συνολική πιθανότητα, αθροιστικά, για k=1,2,...,n

να είναι

ή ισοδύναμα η πιθανότητα να μην φέρουμε καμία “εξάρες” P(k=0)

να είναι

.
Συνεπώς $P(k=0)= \begin{pmatrix}n \\0\end{pmatrix} p^{0} (1-p)^{n}<0,50$ =>
$\begin{pmatrix}n \\0\end{pmatrix} \left( \dfrac {1}{36} \right)^{0} \left( \dfrac{35}{36} \right )^{n}<0,50 \Rightarrow \left( \dfrac{35}{36} \right )^{n}<0,50 \Rightarrow n>24,6051$ .

Άρα πράγματι το μικρότερο n=25

Υ.Γ Πως να μεγαλώνω τις παρενθέσεις και αγκύλες ? π.χ $( \dfrac{35}{36})$

Tolaso J Kos · #5

ealexiou έγραψε:
Υ.Γ Πως να μεγαλώνω τις παρενθέσεις και αγκύλες ? π.χ $( \dfrac{35}{36})$

καλημέρα, απλά μπροστά από τις παρενθέσεις βάζεις \left( \dfrac{5}{3} \right ) που δίδει $\displaystyle{\left( \dfrac{5}{3} \right )}$ . Όμοια και για τις αγκύλες \left [ \dfrac{5}{3} \right ] που δίδει $\displaystyle{\left [ \dfrac{5}{3} \right ]}$ .

Ελπίζω να βοήθησα.

ealexiou · #6

Καλημέρα Tolaso J Kos, σε ευχαριστώ!

Ρίξε μια ζαριά καλή !

Ρίξε μια ζαριά καλή !

Re: Ρίξε μια ζαριά καλή !

Re: Ρίξε μια ζαριά καλή !

Re: Ρίξε μια ζαριά καλή !

Re: Ρίξε μια ζαριά καλή !

Re: Ρίξε μια ζαριά καλή !

Μέλη σε σύνδεση