Πεντάγραμμο του Μiquel

erxmer · #1

Θεωρούμε το πεντάγωνο ΑΒCDΕ και A_1, B_1, C_1, D_1, E_1

είναι τα κοινά

σημεία των (BC, ED), (CD, AE), (DE, AB), (EA, BC), (AB, CD) αντίστοιχα. Να δειχθεί οτι

οι κύκλοι ABD_1, BCE_1, CDA_1, DEB_1, EAC_1

επανατέμνονται σε

5 ομοκυκλικά σημεία.

Ιστοσελίδα · #2

Από το κοινό σημείο Κ των κύκλων $\displaystyle{ \left( {B_1 E\Delta } \right) }$ και $\displaystyle{ \left( {A_1 \Delta \Gamma } \right) }$ διέρχονται οι κύκλοι $\displaystyle{ \left( {\Delta _1 \Gamma B_1} \right) }$ και $\displaystyle{ \left( {\Delta _1 EA_1 } \right) }$

Από το κοινό σημείο Μ των κύκλων $\displaystyle{ \left( {B\Gamma E_1 } \right) }$ και $\displaystyle{ \left( {AB\Delta _1 } \right) }$ διέρχονται οι κύκλοι $\displaystyle{ \left( {E_1 B_1 A} \right) }$ και $\displaystyle{ \left( {\Delta _1 \Gamma {\rm B}_1 } \right) }$ ,

επομένως ο κύκλος $\displaystyle{ \left( {\Delta _1 \Gamma {\rm B}_1 } \right) }$ διέρχεται από τα Κ και Μ, οπότε

$\displaystyle{ \mathop {MNP}\limits^ \wedge = x + y = x_1 + y_1 = x_2 + y_2 = 2 - \mathop {PKM}\limits^ \wedge \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \mathop {MNP}\limits^ \wedge + \mathop {PKM}\limits^ \wedge = 2o\rho \theta \varepsilon \varsigma }$

άρα το τερτράπλευρο $\displaystyle{ MNPK }$ είναι εγγράψιμο.

Με ανάλογο τρόπο δείχνουμε ότι και το τετράπλευρο $\displaystyle{ K\Lambda MN }$ είναι εγγράψιμο, οπότε από τα δύο αυτά εγγράψιμα προκύπτει ότι και το τα σημεία $\displaystyle{ P,K,\Lambda ,M,N }$ είναι ομοκυκλικά.

erxmer · #3

διαδραστική απόδειξη

Πεντάγραμμο του Μiquel

Πεντάγραμμο του Μiquel

Re: Πεντάγραμμο του Μiquel

Re: Πεντάγραμμο του Μiquel

Μέλη σε σύνδεση