Εξίσωση με πίνακες

#1

Έστω

θετικός ακέραιος και $A,B \in M_n(\mathbb{C})$ ώστε 2A^2=3B^3=I

. Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{AX-XB=3B^2-2A$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

alex_eske · #2

achilleas έγραψε:Έστω θετικός ακέραιος και $A,B \in M_n(\mathbb{C})$ ώστε . Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{AX-XB=3B^2-2A$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Λοιπόν: $A^2X-AXB=3AB^2-2A^2 \Rightarrow \frac{1}{2}X-AXB=3AB^2-I (1)$ .
$AXB^2-XB^3=3B^4-2AB^2 \Rightarrow AXB^2-\frac{1}{3}X=B-2AB^2 (2)$
Από την (1): $\frac{1}{2}XB-AXB^2=3AB^3-B \stackrel{(2)}{\Rightarrow} \frac{1}{2}XB-(\frac{1}{3}X+B-2AB^2)=A-B$ $\Rightarrow X(\frac{1}{2}B-\frac{1}{3}I)=A-2AB^2$ .

$B^3=\frac{1}{3}I \Rightarrow m_B(x)|x^3-\frac{1}{3}$ , αρα το 1/6

δεν είναι ιδιοτιμή του

, δηλαδή $\frac{1}{2}B-\frac{1}{3}I$ αντιστρέψιμος. Άρα τελικά:
$X=(A-2AB^2)(\frac{1}{2}B-\frac{1}{3}I)^{-1}$

#3

Μπορούμε να το προχωρήσουμε περισσότερο. Για να βρούμε τον αντίστροφο του $\displaystyle{ \left(\frac{B}{2} - \frac{I}{3} \right)}$ δοκιμάζουμε ένα πίνακα της μορφής aI + bB + cB^2

. Βρίσκω $\displaystyle{ \left(\frac{B}{2} - \frac{I}{3} \right)^{-1} = 24I + 36B + 54B^2}$

Χρησιμοποιώντας αυτό μετά από πράξεις βγαίνει $\displaystyle{ X = A(I - 2B^2)(24I + 36B + 54B^2) = \cdots = 6AB^2.}$

Εύκολα επίσης ελέγχουμε ότι επαληθεύει.

#4

Άλλος τρόπος:

Παρατηρούμε ότι ο πίνακας X=6AB^2

λύνει τη δοθείσα εξίσωση.
Αρκεί να δείξουμε ότι αυτή η λύση είναι η μοναδική.

Πράγματι, έστω

πίνακας τέτοιος ώστε AY-YB=3B^2-2A

.

Τότε

A(X-Y)=B(X-Y)

και με πεπερασμένη επαγωγή παίρνουμε

A^2(X-Y)=B^2(X-Y)

, ...,

,

οπότε

$\dfrac{1}{8}(X-Y)=\dfrac{1}{9}(X-Y)$ ,

απ'όπου παίρνουμε αμέσως ότι X=Y

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Εξίσωση με πίνακες

Εξίσωση με πίνακες

Re: Εξίσωση με πίνακες

Re: Εξίσωση με πίνακες

Re: Εξίσωση με πίνακες

Μέλη σε σύνδεση