Ανισότητα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Αύγ 22, 2011 1:09 am

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\left[ {0,2} \right] \to R}, η οποία έχει αύξουσα παράγωγο. Να δείξετε ότι
\displaystyle{\frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  \le f\left( 0 \right) + f'\left( 2 \right)}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Δευ Αύγ 22, 2011 3:15 am

Επειδή η f έχει αύξουσα παράγωγο άρα η δεύτερη παραγωγός της θα είναι θετική (f''(x) > 0) συνεπώς η f είναι κυρτή.

Ισχύει ενα θεώρημα το οποίο λέει ότι,

f:[a,b]\to\mathbb{R} κυρτή. Τότε \displaystyle f(\frac{a+b}{2})\leq\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\frac{f(a)+f(b)}{2}. Βλέπε καί εδώ viewtopic.php?f=61&t=1202&start=0

Οπότε για a = 0 καί b = 2 έχουμε ότι \displastyle f(1) \le\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(x)dx\le\frac{f(0)+f(2)}{2}

Είναι τώρα \displaystyle \frac{f(0)+f(2)}{2}=f(0) - \frac{f(0)}{2}+\frac{f(2)}{2} = f(0) + \frac{f(2)-f(0)}{2-0}


Επειδή η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [0,2]

η εφαπτομένης της στο x_{0}= 2 έxει εξίσωση,

\displaystyle f(x) - f(2) = f'(2)(x -2) για

x = 0 είναι \displaystyle f(0) - f(2) = f'(2)(0-2) \rightarrow f'(2) = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}


Αρα \displaystyle f(0) + \frac{f(2)-f(0)}{2-0} = f(0) + f'(2)

Το κομμάτι που έγραψα με τα κόκκκινα δηλαδή αυτό με την εφαπτομένη δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό.


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Αύγ 22, 2011 8:34 am

Είναι λάθος αφού η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \displaystyle{f} στο σημείο \displaystyle{{x_0} = 2} είναι όπως πολύ σωστά έγραψες \displaystyle{y - f\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right)} με \displaystyle{\left( {x,y} \right)} σημεία της ευθείας (εφαπτομένης) και όχι της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} , άρα η αντικατάσταση σε αυτή την εξίσωση όπου \displaystyle{y} το \displaystyle{f\left( x \right)} είναι λάθος.

Το ορθό θα ήταν στην θέση του \displaystyle{y} να θέσεις πχ. \displaystyle{g\left( x \right)}


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Δευ Αύγ 22, 2011 11:20 am

Μάκη καλημέρα και σε ευχαριστώ για την απάντηση! Θα το κοιτάξω ξανά.

Και μια ερώτηση θέλω να κάνω. Αν είχαμε μια συνάρτηση \displaystyle f[a,b]\right\to R η οποία είναι κοίλη στό

\displaystyle [a,b] τότε θα ίσχυε \displaystyle f(\frac{a+b}{2}) \ge \frac{f(a)+f(b)}{2}?


Καλό Καλοκαίρι!
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Δευ Αύγ 22, 2011 12:11 pm

Η ζητούμενη γράφεται ισοδύναμα:

\displaystyle{ 
\int_0^2 {f(x)dx}  \le 2f(0) + 2f{'} (2) \Leftrightarrow \int_0^2 {f(x)dx}  - 2f(0) \le 2f{'} (2) \Leftrightarrow \int_0^2 {f(x)dx}  - \int_0^2 {f(0)dx}  \le 2f{'} (2) 
} \displaystyle{ 
 \Leftrightarrow \int_0^2 {\left( {f(x) - f(0)} \right)} dx \le 2f{'} (2)\,\,\,(1)}

Αρκεί να αποδειχθεί η (1)

Έστω \displaystyle{x \in \left( {0,2} \right]} , τότε η \displaystyle{f} ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα \displaystyle{\,\left[ {0,x} \right]} και έτσι θα υπάρχει \displaystyle{ 
\xi  \in (0,x)} , τέτοιο ώστε

\displaystyle{ 
f{'} (\xi ) = \frac{{f(x) - f(0)}}{x} \Rightarrow f(x) - f(0) \le xf{'} (\xi )\mathop  \Rightarrow \limits^{f{'}  \uparrow } f(x) - f(0) \le xf{'} (2)\,\,\,(2)}

Η (2) ισχύει για κάθε \displaystyle{x \in \left( {0,2} \right]} αλλά προφανώς ισχύει και όταν \displaystyle{x = 0} οπότε ισχύει για κάθε \displaystyle{ 
x \in \left[ {0,2} \right]}

Οι συναρτήσεις \displaystyle{ 
f(x) - f(0)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,xf{'} (2)} είναι συνεχείς στο \displaystyle{\left[ {0,2} \right]} οπότε έχουμε:(το βήμα αυτό σχολικά χρειάζεται απόδειξη)

\displaystyle{ 
\int_0^2 {\left( {f(x) - f(0)} \right)} dx \le \int_0^2 {xf{'} (2)} dx \Rightarrow \int_0^2 {\left( {f(x) - f(0)} \right)} dx \le f{'} (2)\left[ {\frac{{x^2 }}{2}} \right]_0^2  \Rightarrow \int_0^2 {\left( {f(x) - f(0)} \right)} dx \le 2f{'} (2)\,}

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Δευ Αύγ 22, 2011 1:16 pm

angvl έγραψε:
Και μια ερώτηση θέλω να κάνω. Αν είχαμε μια συνάρτηση \displaystyle f[a,b]\right\to R η οποία είναι κοίλη στό

\displaystyle [a,b] τότε θα ίσχυε \displaystyle f(\frac{a+b}{2}) \ge \frac{f(a)+f(b)}{2}?
Ναι. Πρόκειται για ειδική περίπτωση της ανισότητας Jensen.


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Αύγ 22, 2011 2:14 pm

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:
angvl έγραψε:
Και μια ερώτηση θέλω να κάνω. Αν είχαμε μια συνάρτηση \displaystyle f[a,b]\right\to R η οποία είναι κοίλη στό

\displaystyle [a,b] τότε θα ίσχυε \displaystyle f(\frac{a+b}{2}) \ge \frac{f(a)+f(b)}{2}?
Ναι. Πρόκειται για ειδική περίπτωση της ανισότητας Jensen.
Μία απόδειξη μπορείς να κάνεις χρησιμοποιώντας την συνάρτηση
\displaystyle{g\left( x \right) = f\left( {\frac{{x + \alpha }}{2}} \right) - \frac{{f\left( x \right) + f\left( \alpha  \right)}}{2},x \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]}

όσο για την άσκηση, η λύση που έχω υπόψη είναι αυτή που παρέθεσε ο Γιώργος (hsiodos)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ανισότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Αύγ 22, 2011 3:40 pm

angvl έγραψε:Επειδή η f έχει αύξουσα παράγωγο άρα η δεύτερη παραγωγός της θα είναι θετική (f''(x) > 0) συνεπώς η f είναι κυρτή.


Επιπροσθέτως,επειδή παρακολουθούν και μαθητές καλό θα είναι να πούμε πως η εκφώνηση δε λέει πουθενά πως η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη,όπως έχει υποτεθεί στη λύση.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Ανισότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Δευ Αύγ 22, 2011 4:05 pm

Καλησπέρα.

Όταν δηλαδή λέει αυτό ''Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\left[ {0,2} \right] \to R}'' τι εννόει? Πως μπορούμε να καταλάβουμε δηλαδή αν είναι μία ή δύο κ.ο.κ φορές παραγωγίσιμη? Εγώ είπα επειδή είναι παραγωγίσιμη θα είναι όσες φορές θέλουμε.


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ανισότητα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Αύγ 22, 2011 4:09 pm

Όταν η άσκηση λέει ''παραγωγίσιμη'' εγώ καταλαβαίνω μία φορά παραγωγίσιμη.
Κ.ο.κ...


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Ανισότητα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Δευ Αύγ 22, 2011 4:16 pm

Αρα είναι θέμα του πως το αντιλαμβάνεται κανείς? η ισχύει πάντα αυτο? ¨Οταν δηλαδή μια άσκηση λέει παραγωγίσιμη εννόει μια φορά αλλιώς πρέπει να το διευκρινίζει αν είναι δύο φορές κ.ο.κ..


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Δευ Αύγ 22, 2011 4:18 pm

Οταν μια άσκηση λέει οτι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη εννοείται μία φορά...αν πει δύο φορές παραγωγίσιμη ή αν προκύπτει αυτό είναι άλλο θέμα.


Στραγάλης Χρήστος
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Ανισότητα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Δευ Αύγ 22, 2011 4:21 pm

Οκ ευχαριστώ!


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ανισότητα

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Αύγ 22, 2011 4:22 pm

angvl έγραψε:Αρα είναι θέμα του πως το αντιλαμβάνεται κανείς?
Δεν καταλαβαίνω!Πως προέκυψε αυτή η συνεπαγωγή;
Για να καταλάβουμε πως η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη πρέπει να δηλώνεται στην εκφώνηση ή να αποδεικνύεται
με χρήση των δεδομένων.
Καλό θα είναι να το προσέχουμε αυτό γιατί και αρκετοί μαθητές παρασύρονται σε ''στρεβλά'' συμπεράσματα....


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Ανισότητα

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Δευ Αύγ 22, 2011 4:28 pm

Γιατί το καταλαβαίνω εγώ..? :D

Πράγματι κάποιος μπορεί να παρασυρθεί πολύ εύκολα όπως παρασύρθηκα και γώ! Ευχαριστώ για την παρατήρηση!


Καλό Καλοκαίρι!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες