Συναρτησιακή ανίσωση με παράμετρο

#1

Για ποιες τιμές της σταθερής

υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ x+af(y)\leq y+f(f(x)) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R};$

peter · #2

Είναι προφανές ότι για a=0

δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Για a<0

θέτουμε $\lambda=\max\{1,\frac{1}{|a|}\}>0$ . Τότε, η συνάρτηση $f(x)=\lambda |x|$ έχει την παραπάνω ιδιότητα.

Πάμε τώρα στην περίπτωση a>0

. Αν υπάρχει τέτοια συνάρτηση, τότε από την ιδιότητά της προκύπτει ότι υπάρχει $\gamma\in \mathbb R$ ώστε $f(x)\leq \frac{x+\gamma}{a}$ για κάθε $x\in\mathbb R$ και $f(f(x))\geq x+\gamma$ για κάθε $x\in \mathbb R$ . Έπεται ότι, $a(x+\gamma)\leq af(f(x))\leq f(x)+\gamma\leq \frac{x}{a}+\gamma+\gamma/a \Rightarrow (a-\frac{1}{a})x\leq \gamma-a\gamma+\gamma/a$ , για κάθε $x\in \mathbb R$ . Έπεται ότι a=1

(αναγκαία συνθήκη). Τότε, $x+f(y)\leq y+f(f(x))$ για κάθε $x,y\in \mathbb R$ . Παρατηρούμε ότι η f(x)=x

την ικανοποιεί.

Συναρτησιακή ανίσωση με παράμετρο

Συναρτησιακή ανίσωση με παράμετρο

Re: Συναρτησιακή ανίσωση με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση