Παρόμοια με μία άλλη

#1

Με αυτήν...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{f(k)\cdot f(k+1)}}=\frac{f(f(n))}{f(n+1)}, }$

για κάθε $n \in \mathbb{N}.$

#2

socrates έγραψε:Με αυτήν...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{f(k)\cdot f(k+1)}}=\frac{f(f(n))}{f(n+1)}, }$

για κάθε $n \in \mathbb{N}.$

μια προσπάθεια...

έχουμε: $\displaystyle{\sum_{k=1}^n\frac{1}{f(k)\cdot f(k+1)}=\frac{f(f(n))}{f(n+1)} ~~(1)~~,~~\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{f(k)\cdot f(k+1)}=\frac{f(f(n+1))}{f(n+2)} ,~~(2)}$

$\displaystyle{(2)-(1)\Rightarrow \frac{f(f(n+1))}{f(n+2)}-\frac{f(f(n))}{f(n+1)}=\frac{1}{f(n+1)f(n+2)}\Rightarrow f(n+1)\cdot f(f(n+1))-f(n+2)\cdt f(f(n))=1,~~\spadesuit}$

βλέπουμε ότι η $f(n)=n,n\in \mathbb N^*$ ικανοποιεί,αρκεί να το δείξουμε
δηλαδή
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$\displaystyle{\frac{1}{(1)(2)}+\frac{1}{(2)(3)}+\dots+\frac{1}{(n)(n+1)}=\frac{(n)}{(n+1)},~~(*)}$
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
η (*)

για

ισχύει

έστω ότι ισχύει για τυχαίο $n\in \mathbb N^*$ θα δείξουμε ότι ισχύει και για n+1

δηλαδή :

$\displaystyle{\frac{1}{(1)(2)}+\frac{1}{(2)(3)}+\dots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)}{(n+2)}}$

$\displaystyle{\frac{1}{(1)(2)}+\frac{1}{(2)(3)}+\dots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\stackrel{(*)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)}{(n+2)},~~\checkmark}$
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
δεν ξέρω αν μπορούσαμε από την $\spadesuit$ να προχωρήσουμε κάπως διαφορετικά
απλά ήταν το πρώτο που σκέφτηκα,με βοήθησε να δω το f(n)=n

και γι'αυτό την έγραψα.

Θανάση...

Παρόμοια με μία άλλη

Παρόμοια με μία άλλη

Re: Παρόμοια με μία άλλη

Μέλη σε σύνδεση