mathematica.gr

Έστω η συναρτησιακή εξίσωση κ(χ+ψ)=κ(χ)+κ(ψ),χ,ψ οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί και κ συνεχής συνάρτηση,η οποία έχει ως μοναδική λύση την συνάρτηση κ(χ)=cx, c πραγματική σταθερά.
Έστω και η f(x+y)=g(x)+h(y),x,y οποιοιδήποτε πραγματικοί και f συνεχής.Nα προσδιορίσετε του τύπους των συναρτήσεων f,g,h

Ισχυει για καθε .

Αποδεικνυουμε επαγωγικα οτι ισχυει για καθε οποτε, αφου η ειναι συνεχης και σταθερη στο θα ειναι και σταθερη στο . Αρα η ειναι γραμμικη συναρτηση, εστω . Ομοιως αποδεικνυουμε οτι η ειναι επισης γραμμικη συναρτηση και ετσι η θα ειναι της μορφης .

Δημητρης Σκουτερης

Εκτός από την προσέγγιση του dement, έχουμε ως λύση κάτι πιο λυκειακό; Έχω δει μία ωραία λύση(Έδωσα την cauchy για να γίνει πιο λυκειακή).

Είναι τότε συνεχείς και επιπλέον
Αν τότε από την προηγούμενη παίρνουμε και επειδή w συνεχής τότε
με επαλήθευση στην αρχική σχέση άρα
(υπάρχει και γενίκευση θα την ανεβάσω αργότερα)

Η γενίκευση

Να βρείτε τους τύπους όλων των συνεχών συναρτήσεων όταν
Να σημειώσουμε ότι αρκεί η συνέχεια μόνον της f για να εξασφαλιστεί και η συνέχεια των υπολοίπων. Ο Τρόπος που είναι λυμένη στο συνημμένο είναι παρόμοιος με αυτόν που ανέβασα στο προηγούμενο post

Η δική μου προσέγγιση μιας και δεν μπορώ να βρω από που πήρα την άσκηση ώστε αν δώσω και την λύση ...
Είναι f(x+y)=g(x)+h(y)
Για χ=0 έχουμε f(y)=g(0)+h(y), σχέση (1)
Για ψ=0 έχουμε f(x)=g(x)+h(0), σχέση (2)
Προσθέτουμε κατα μέλη τις (1) και (2): f(x)+f(y)=g(x)+h(y)+g(0)+h(0) οπότε f(x)+f(y)=f(x+y)+f(0)
Από την τελευταία αφαιρούμε από τα μέλη τον αριθμό 2f(0) και παίρνουμε
f(x+y)-f(0)=f(x)-f(0)+f(y)-f(0), σχέση (3). Θεωρούμε την συνάρτηση κ(χ)=f(x)-f(0),σχέση (4)
Οπότε η σχέση (3) μετασχηματίζεται στην k(x+y)=k(x)+k(y) από υπόθεση θα είναι k(x)=cx
Από (4) παίρνουμε f(x)=cx+f(0)
Από (1) παίρνουμε h(y)=cy+f(0)-g(0)=cy+h(0)
Από (2) παίρνουμε g(x)= cx+f(0)-h(0)=cx+g(0)

Πάντως η λύση που είχα δει ξεκινούσε κάπως έτσι
Για ψ=χ και χ=ψ : f(y+x)=g(y)+h(x) άρα g(y)+h(x)=g(x)+h(y) οπότε g(x)-h(x)=g(y)-h(y)= σταθερό κτλ...