Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση

#1

Από τον Νίκο Ζανταρίδη:

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ , που ικανοποιεί τη σχέση

$\displaystyle{x^a \left(f\left(\frac {2x+3}{x+1}\right)-f\left(\frac {2x+1}{x}\right)\right)=2011, \forall x>0}$

,

όπου $a \in (0,1]$

#2

s.kap έγραψε:Από τον Νίκο Ζανταρίδη:

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ , που ικανοποιεί τη σχέση

$\displaystyle{x^a \left(f\left(\frac {2x+3}{x+1}\right)-f\left(\frac {2x+1}{x}\right)\right)=2011, \forall x>0}$ ,

όπου $a \in (0,1]$

Για $x=1, \, 2, \, 3, \, ..., n$ διαδοχικά παίρνουμε

$\displaystyle f\left(\frac {5}{2}\right)-f\left(\frac {3}{1}\right) = \frac{2011}{1^a}$

$\displaystyle f\left(\frac {7}{3}\right)-f\left(\frac {5}{2}\right) = \frac{2011}{2^a}$

....

$\displaystyle f\left(\frac {2n+3}{n+1}\right)-f\left(\frac {2n+1}{n}\right) = \frac{2011}{n^a}$ .

Προσθέτοντας (τηλεσκοπικά) κατά μέλη προκύπτει

$\displaystyle f\left(\frac {2n+3}{n+1}\right)-f\left(\frac {3}{1}\right) = \frac{2011}{1^a}+\frac{2011}{2^a}+...+\frac{2011}{n^a}$ .

Παίρνοντας όριο, για συνεχή

, το αριστερό μέλος τείνει στο f(2)-f(3)

, αλλά το δεξί αποκλίνει στο σύν άπειρο (διότι $0<a\le 1$ ). Άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνεχής

, όπως θέλαμε να δείξουμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Η δοθείσα σχέση μπορεί να γραφεί ως $\displaystyle{ f\left(2+\frac {1}{x+1}\right)-f\left(2+\frac {1}{x}\right)=\frac{2011}{x^a}.$

Θέτοντας στην τελευταία διαδοχικά $x:=x+i,\ i=1,2,...,n$ και προσθέτοντας τις προκύπτουσες σχέσεις, έχουμε

$\displaystyle{ f\left(2+\frac{1}{x+n}\right)-f\left(2+\frac{1}{x}\right)=\frac{2011}{x^a}+\frac{2011}{(x+1)^a}+...+\frac{2011}{(x+n-1)^a},\ \forall (x,n)\in (0,\infty)\times \mathbb{N}^*. \ (^*)}$

Όμως, αφού $a\in (0,1],$ από την ανισότητα Bernoulli έχουμε $x^a\leq ax+1-a.$

Έτσι, από την (^*)

είναι $\displaystyle f\left(2+\frac{1}{x+n}\right)-f\left(2+\frac{1}{x}\right)>\frac{2011n}{(x+n-1)^a}\geq \frac{2011n}{a(x+n-1)+1-a}.$

Αφήνοντας στην τελευταία $n\to \infty: \ \ \displaystyle f(2)-f\left(2+\frac{1}{x}\right)>\frac{2011}{a}$

ενώ για $x\to \infty$ είναι $\displaystyle 0>\frac{2011}{a},$ άτοπο.

Σημ. Δεν αλλάζει το συμπέρασμα και για a=0.

Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση