Εμβαδό τετραγώνου

mathxl · #1

Στο παρακάτω σχήμα το Γ φαίνεται ως διπλό σημείο, ενώ δεν είναι (κατασκευαστική αστοχία...)

Να υπολογίσετε το εμβαδό του τετραγώνου AEFG

#2

Με το σχήμα του Βασίλη:

: embado 2.png (28.38 KiB) Προβλήθηκε 2023 φορές

Θέτω ΑΒ =x, 0 < x < α, GΓ = y, 0 < y < α

Τότε: (AEB) + (BFΓ) + (ΓGA) = (AEFG) - (AΒΓ)
$\displaystyle\frac{{\alpha x}}{2} + \frac{{\left( {\alpha - x} \right)\left( {\alpha - y} \right)}}{2} + \frac{{\alpha y}}{2} = \alpha ^2 - 6\;\Leftrightarrow \frac{{\alpha ^2 + xy}}{2} = \alpha ^2 - 6\;\Leftrightarrow \;xy = \alpha ^2 - 12$

Είναι: $\displaystyle x^2 = 16 - \alpha ^2 ,\;\;y^2 = 25 - \alpha ^2 \;\; \Rightarrow \;\;x^2 y^2 = 400 - 41\alpha ^2 + \alpha ^4$
Άρα $\displaystyle\left( {\alpha ^2 - 12} \right)^2 = 400 - 41\alpha ^2 + \alpha ^4 \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\alpha ^4 - 24\alpha ^2 + 144 = 400 - 41\alpha ^2 + \alpha ^4$
$\displaystyle\Leftrightarrow \;\;17\alpha ^2 = 256\;\; \Leftrightarrow \;\;\alpha ^2 = \frac{{256}}{{17}}$

Γιώργος Ρίζος

p_gianno · #3

Δίνω ακόμη μία λύση

Mathxl area.pdf: (57.33 KiB) Μεταφορτώθηκε 146 φορές

Π.Γ

mathxl · #4

Ωραίες λύσεις! Έχει και μία καλή (αρκετά σύντομη) με χρήση τριγωνομετρίας

#5

mathxl έγραψε:Ωραίες λύσεις! Έχει και μία καλή (αρκετά σύντομη) με χρήση τριγωνομετρίας

Βασίλη, δεν ξέρω αν εννοούσες κάτι τέτοιο. Είναι το ταχύτερο που μπορώ να βρω και μοιάζει αρκετά με τη λύση του Παναγιώτη.

: embado 3.png (28.73 KiB) Προβλήθηκε 1932 φορές

Επειδή $\displaystyle\widehat{\rm A}_1 + \widehat{\rm B}_1 = 90^\circ \;\;\kappa \alpha \iota \;\;\widehat{\rm B}_1 + \widehat{\rm B}_3 = 90^\circ \;\; \Rightarrow \;\;\widehat{\rm A}_1 = \widehat{\rm B}_3$ .

Οπότε $\displaystyle\sigma \upsilon \nu {\rm A}_1 = \sigma \upsilon \nu {\rm B}_3 \Leftrightarrow \;\;\frac{\alpha }{4} = \frac{{\alpha - x}}{3}\;\; \Leftrightarrow \;3\alpha = 4\alpha - 4x\;\; \Leftrightarrow \;\;x = \frac{\alpha }{4}$

Τότε, από Πυθ. Θεώρημα στο ΑΒΕ: $\displaystyle\alpha ^2 = 16 - \left( {\frac{\alpha }{4}} \right)^2 \;\;...\;\alpha ^2 = \frac{{256}}{{17}}$ .

Γιώργος Ρίζος

mathxl · #6

Ακριβώς αυτό Γιώργο

Εμβαδό τετραγώνου

Εμβαδό τετραγώνου

Re: Εμβαδό τετραγώνου

Re: Εμβαδό τετραγώνου

Re: Εμβαδό τετραγώνου

Re: Εμβαδό τετραγώνου

Re: Εμβαδό τετραγώνου

Μέλη σε σύνδεση