Αποκλίνουσα σειρά

AlexandrosG · #1

Έστω $\displaystyle{(a_{\nu})_{\nu \in \mathbb{N}}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε $\displaystyle{\sum_{\nu=1}^{+\infty} a_{\nu}= +\infty}$ .

Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle{\sum_{\nu=1}^{+\infty} \min \{1,a_{\nu} \} =+\infty}$ .

alex_eske · #2

Aν η

δεν συγκλίνει στο μηδέν είναι άμεσο αφού η $min\{1,a_n\}$ δε θα είναι μηδενική και αφού είναι θετική είναι και $\sum_{n=1}^{\infty}min\{1,a_n\}=+\infty$ . Αν πάλι $a_n \rightarrow 0$ τότε υπάρχει $N \in \mathbb{N}: \forall n\geq N{\ } min\{1,a_n\}=a_n$ , Άρα από την υπόθεση είναι και $\sum_{n=1}^{\infty}min\{1,a_n\}=+\infty$ .

AlexandrosG · #3

Πολύ ωραία και γρήγορα.

Μια ακόμα αιτιολόγηση:

Αν για άπειρους δείκτες το $\displaystyle{\min}$ είναι

τότε προφανώς το άθροισμα είναι $\displaystyle{+\infty}$ .

Αν το $\displaystyle{\min}$ είναι

για το πολύ πεπερασμένους δείκτες τότε η σειρά έχει την ίδια συμπεριφορά με την σειρά των $\displaystyle{a_n}$ δηλαδή αποκλίνει.

Αποκλίνουσα σειρά

Αποκλίνουσα σειρά

Re: Αποκλίνουσα σειρά

Re: Αποκλίνουσα σειρά

Μέλη σε σύνδεση