Ευθεία και κύκλος

#1

Να δείξετε ότι κάθε ευθεία
$\displaystyle{ \varepsilon :{\rm A}x + By + 2\sqrt {A^2 + B^2 } = 0 }$
εφάπτεται σε έναν σταθερό κύκλο για κάθε $\displaystyle{ A,B \in R }$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ \sqrt {A^2 + B^2 } \ne 0 }$

#2

Η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία αυτή είναι:
$\displaystyle D(O,\varepsilon )=\frac{\left|A\cdot0+B\cdot0+2\sqrt{A^2+B^2} \right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=2$
Άρα ο κύκλος
$\displaystyle c:x^2+y^2=2^2$
εφάπτεται στην ευθεία $\displaystyle{(e)}$ , για οποιαδήποτε τιμή των παραμέτρων $\displaystyle{A, B}$ με $\displaystyle{A^2+B^2 \neq0}$ .

Κώστας Δόρτσιος

: Κύκλος και ευθεία.PNG (25.65 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

Γιώργος Απόκης · #3

Απλές σκέψεις τελικά... Είχα αρχίσει να βάζω x_0,y_0,r

... και μετά είδα τη λύση του Κώστα!

Leo · #4

Μια άλλη σκέψη.

Διαιρούμε με $\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}$ και η εξίσωση της ευθείας γράφεται:
$\frac{A}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}x+\frac{B}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}y+2=0$
Και επειδή ${{\left( \frac{A}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{B}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}} \right)}^{2}}=1$ , υπάρχει γωνία $\varphi \in \left[ 0,2\pi \right)$ τέτοια ώστε: $\sin\varphi =\frac{A}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}$ και $\cos\varphi =\frac{B}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}$ οπότε η εξίσωση τώρα γράφεται:
$\varepsilon :\sin \varphi \cdot x+\cos \varphi \cdot y+2=0$ .
Παρατηρούμε ότι $\frac{\left| \sin \varphi \cdot 0+\cos \varphi \cdot 0+2 \right|}{\sqrt{{{\sin }^{2}}\varphi +{{\cos }^{2}}\varphi }}=2$ , δηλαδή η ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ εφάπτεται στον κύκλο με κέντρο το

και ακτίνα

.

Κάπου στο φάκελο της β' λυκείου έχουμε δει παρόμοια άσκηση από τον κ. Κυριακόπουλο...

#5

viewtopic.php?f=23&t=5498

Ευθεία και κύκλος

Ευθεία και κύκλος

Re: Ευθεία και κύκλος

Re: Ευθεία και κύκλος

Re: Ευθεία και κύκλος

Re: Ευθεία και κύκλος

Μέλη σε σύνδεση