[X]

S.E.Louridas · #1

Να υπολογιστεί το ακέραιο μέρος του αριθμού:

$X=\sqrt {k^2 + \sqrt {4k^2 + \sqrt {16k^2 + 8k + 3} } } ,\;k \in \mathbb{N}.$

S.E.Louridas

stavros11 · #2

Για κάθε $\displaystyle{k \in \mathbb{N}}$ ισχύει:
$\displaystyle{\sqrt{16k^2+8k+3}=\sqrt{16k^2+8k+1+2}=\sqrt{(4k+1)^2+2}>\sqrt{(4k+1)^2}=4k+1}$
Άρα: $\displaystyle{X>\sqrt{k^2+\sqrt{4k^2+4k+1}}=\sqrt{k^2+\sqrt{(2k+1)^2}}=\sqrt{k^2+2k+1}=k+1}$

Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{k+2>X}$ :

$\displaystyle{\sqrt{k^2+\sqrt{4k^2+\sqrt{16k^2+8k+3}}}<k+2\Leftrightarrow \sqrt{4k^2+\sqrt{16k^2+8k+3}}<4k+4\Leftrightarrow \sqrt{16k^2+8k+3}<12k^2+32k+16=4(3k^2+8k+4)}$
που ισχύει αφού:
$\displaystyle{16k^2+8k+3=16(k^2+\frac{k}{2}+\frac{3}{16})<16(3k^2+8k+4)<16(3k^2+8k+4)^2\Rightarrow \sqrt{16k^2+8k+3}<4(3k^2+8k+4)}$ .

Από τα παραπάνω έχουμε $\displaystyle{k+1<X<k+2}$ . Συνεπώς $\displaystyle{[X]=k+1}$ .

[X]

[X]

Re: [X]

Μέλη σε σύνδεση