Τριγωνομετρική Εξίσωση!

#1

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{\sin ^7 x+\frac{1}{\sin ^3 x}=\cos ^7 x+\frac{1}{\cos ^3 x}}$

Jewish Problems

#2

Θάνο εγώ δεν γνωρίζω τα κολπάκια των διαγωνισμών και προχωρώ σε μια λύση με εργαλεία Γ΄ Λυκείου. Φαντάζομαι ότι υπάρχει σαφώς γρηγορότερη λύση…

Έστω $\displaystyle{f(x)=x^7+\frac{1}{x^3},x \in [-1,0) \cup (0,1]}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ x \in [-1,0) \cup (0,1]}$ με $\displaystyle{f '(x)=\frac{7x^{10}-3}{x^4}}$ .

Τότε:

$\displaystyle{f '(x) \geq 0 \Leftrightarrow x\in \left [-1, -\sqrt[10]{\frac{3}{7}} \right] \cup \left [\sqrt[10]{\frac{3}{7}},1 \right] }$ .

Συνεπώς:
* H

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{A_1=\left[-1, -\sqrt[10]{\frac{3}{7}} \right]}$ με $\displaystyle{f(A_1)=\left[-2, f \left (-\sqrt[10]{\frac{3}{7}}\right) \right ]}$ .
** H

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{A_2=\left[-\sqrt[10]{\frac{3}{7}},0 \right)}$ με $\displaystyle{f(A_2)=\left(-\infty, f \left (-\sqrt[10]{\frac{3}{7}}\right) \right ]}$ .
** *H

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{A_3=\left ( 0, \sqrt[10]{\frac{3}{7}} \right ]}$ με $\displaystyle{f(A_3)=\left[f \left (\sqrt[10]{\frac{3}{7}}\right), +\infty \right)}$ .
****H

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{A_4=\left [\sqrt[10]{\frac{3}{7}},1 \right]}$ με $\displaystyle{f(A_4)=\left[f \left (\sqrt[10]{\frac{3}{7}}\right),2 \right]}$ .

H δοσμένη εξίσωση έχει λοιπόν τη μορφή: $\displaystyle{f(sinx)=f(cosx)}$ .

Από τη μονοτονία της

και τα αντίστοιχα υποσύνολα του συνόλου τιμών είναι φανερό ότι ισχύει μία από τις ακόλουθες ιδιότητες:
# $sinx,cosx \in A_1$ ή $sinx,cosx \in A_2$ ή $sinx,cosx \in A_3$ ή $sinx,cosx \in A_4$ ή
##( $sinx \in A_1$ ή $cosx \in A_2$ ) ή ( $cosx \in A_1$ ή $sinx \in A_2$ ) ή
### ( $sinx \in A_3$ ή $cosx \in A_4$ ) ή ( $cosx \in A_4$ ή $sinx \in A_3$ ).

Για την πρώτη περίπτωση θα ισχύει ότι:
# $\displaystyle{sinx=cosx \Leftrightarrow x = k\pi +\frac{\pi}{4},k \in \mathbb{Z}}$ .

Οι υπόλοιπες περιπτώσεις δεν μπορούν να συμβαίνουν και ενδεικτικά δείχνω μία από αυτές.
Αν $sinx\in A_1=\left [-1, -\sqrt[10]{\frac{3}{7}}\right ]$ έχουμε ότι:
$\displaystyle{\sqrt[5]{\frac{3}{7}} \leq sin^2x \leq 1 \Leftrightarrow -\sqrt[5]{\frac{3}{7}} \geq -sin^2x \geq -1 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 1-\sqrt[5]{\frac{3}{7}} \geq 1-sin^2x \geq 1-1 \Leftrightarrow 1-\sqrt[5]{\frac{3}{7}} \geq cos^2x \geq 0}$ , άρα

$\displaystyle{ -\sqrt{1-\sqrt[5]{\frac{3}{7}}} \leq cosx \leq \sqrt{1-\sqrt[5]{\frac{3}{7}}}$ , δηλαδή $\displaystyle{cosx \notin A_2}$ .

Atemlos · #3

Πριν καιρό είχα βρει το παρακάτω pdf (αrxiv.org) το οποίο αναφερόταν στα λεγόμενα Jewish Problems. Τα οποία είχαν σχεδιαστεί ώστε να κρατάνε τους Εβραίους και άλλους ανεπιθύμητους εκτός του πανεπιστημίου της Μόσχας.Τα Μαθηματικά σαν εργαλείο άσκησης πολιτικής.

http://arxiv.org/abs/1110.1556

Ζήνων Λυγάτσικας · #4

Atemlos έγραψε:Πριν καιρό είχα βρει το παρακάτω pdf (αrxiv.org) το οποίο αναφερόταν στα λεγόμενα Jewish Problems. Τα οποία είχαν σχεδιαστεί ώστε να κρατάνε τους Εβραίους και άλλους ανεπιθύμητους εκτός του πανεπιστημίου της Μόσχας.Τα Μαθηματικά σαν εργαλείο άσκησης πολιτικής.

http://arxiv.org/abs/1110.1556

Σαν προέκταση αυτού, μπορείτε να δείτε το "You failed your math test, Comrade Einstein, de M. Shifman" το οποίο περιέχει ακόμα πιο θεαματικότερες ασκήσεις...

kostas_zervos · #5

Άλλη μια λύση...

$\displaystyle \sin^7x+\frac{1}{\sin^3x}=\cos^7x+\frac{1}{\cos^3x} \Leftrightarrow \left(\sin^{10}x+1\right)\cos^3x=\left(\cos^{10}x+1\right)\sin^3x \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\left[\left(1-\cos^2x\right)^5+1\right]\cos^3x=\left[\left(1-\sin^2x\right)^5+1\right]\sin^3x$ (1).

Έστω $f(x)=\left[\left(1-x^2\right)^5+1\right]\cdot x^3\;,\;x\in [-1,1]$ .

Η

είναι συνεχής στο [-1,1]

και παραγωγίσιμη στο (-1,1)

με $f'(x)=3x^2+3x^2\left(1-x^2\right)^5-10x^4\left(1-x^2\right)^4=3x^2\left(1-x^2\right)^5+x^2\left[3-x^2\left(1-x^2\right)^4\right]$ .

Έστω $g(x)=3-x\left(1-x\right)^4\;,\;x\in[0,1]$ , g'(x)=(1-x)^3(5x-1)

και έχει ελάχιστο το $\displaystyle g\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{3\cdot 5^5-4^4}{5^5}>0$ , άρα για $x\in (-1,1)$ έχουμε $x^2\in(0,1)$ και είναι $\displaystyle g\left(x^2\right)\geq g\left(\frac{1}{5}\right)>0 \Leftrightarrow 3-x^2\left(1-x^2\right)^4>0$ .

Έτσι για κάθε $x\in(-1,1)$ είναι $f'(x)\geq 0$ και η ισότητα ισχύει μόνο για x=0

, άρα γν. αυξ. στο [-1,1]

και επομένως 1-1

.

Επομένως $\displaystyle (1)\Leftrightarrow f(\cos x)=f(\sin x) \Leftrightarrow \cos x=\sin x\Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow x=k\pi+\frac{\pi}{4}\;,\;k\in Z$ .

Τριγωνομετρική Εξίσωση!

Τριγωνομετρική Εξίσωση!

Re: Τριγωνομετρική Εξίσωση!

Re: Τριγωνομετρική Εξίσωση!

Re: Τριγωνομετρική Εξίσωση!

Re: Τριγωνομετρική Εξίσωση!

Μέλη σε σύνδεση