Ανισότητα με συνάρτηση και την παράγωγό της

#1

Έστω $f:[0,1]\to R$ συνεχώς παραγωγίσιμη. Ας δειχθεί ότι : $\displaystyle{f^2(1)\le 2\int_0^1f^2(x)dx+\int_0^1(f'(x))^2dx}$ .

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω $f:[0,1]\to R$ παραγωγίσιμη. Ας δειχθεί ότι : $\displaystyle{f^2(1)\le 2\int_0^1f^2(x)dx+\int_0^1(f'(x))^2dx}$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{g(x)=2\int_{0}^{x}f^{2}(t)dt+\int_{0}^{x}\Big(f{'}(t)\Big)^2dt-xf^{2}(x)}$ με $\displaystyle{x\in [0,1].}$

Είναι για $\displaystyle{x\in [0,1]}$

$\displaystyle{g{'}(x)=2f^{2}(x)+\Big(f{'}(x)\Big)^2-f^{2}(x)-2xf(x)f{'}(x)=f^{2}(x)+\Big(f{'}(x)\Big)^2-2xf(x)f{'}(x)\geq }$

$\displaystyle{\geq f^{2}(x)+\Big(f{'}(x)\Big)^2-x\Bigg(f^{2}(x)+\Big(f{'}(x)\Big)^2\Big))=(1-x)\Big[f^{2}(x)+\Big(f{'}(x)\Big)^2\Big]\geq 0.}$

Η $\displaystyle{g}$ είναι αύξουσα στο $\displaystyle{[0,1],}$ οπότε από την ανισότητα $\displaystyle{g(1)\geq g(0)}$ προκύπτει η ζητούμενη.

mathxl · #3

Για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0,1} \right]}$ είναι $\displaystyle{{x^2} \le 1 \Rightarrow {x^2} + 1 \le 2 \Rightarrow \left( {{x^2} + 1} \right){f^2}\left( x \right) \le 2{f^2}\left( x \right) \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right){f^2}\left( x \right)dx} \le \int\limits_0^1 {2{f^2}\left( x \right)dx} }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right){f^2}\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} \le 2\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} }$ σχέση $\displaystyle{\left( 1 \right)}$

Ακόμη έχουμε

$\displaystyle{{\left( {xf\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right)^2} \ge 0}$

$\displaystyle{{x^2}{f^2}\left( x \right) - 2xf\left( x \right)f'\left( x \right) + {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{x^2}{f^2}\left( x \right) + {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} \ge 2xf\left( x \right)f'\left( x \right)}$

ολοκληρώνουμε στο $\displaystyle{\left[ {0,1} \right]}$ αφού χρησιμοποιήσουμε πρώτα την κατάλληλη σχολική πρόταση

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {\left( {{x^2}{f^2}\left( x \right) + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} \right)dx} \ge \int\limits_0^1 {x{{\left( {{f^2}\left( x \right)} \right)}^\prime }dx} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {\left( {{x^2}{f^2}\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} \ge {f^2}\left( 1 \right) - 0 - \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right){f^2}\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} \ge {f^2}\left( 1 \right)}$ σχέση $\displaystyle{\left( 2 \right)}$
Από την σχέση $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ και την $\displaystyle{\left( 2 \right)}$ λαμβάνουμε το ζητούμενο

#4

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=447858

Ανισότητα με συνάρτηση και την παράγωγό της

Ανισότητα με συνάρτηση και την παράγωγό της

Re: Ανισότητα με συνάρτηση και την παράγωγό της

Re: Ανισότητα με συνάρτηση και την παράγωγό της

Re: Ανισότητα με συνάρτηση και την παράγωγό της

Μέλη σε σύνδεση