e(e-1)>....Η εμμονή του λύτη;

S.E.Louridas · #1

$e\left( {e - 1} \right) > ...$ Εμμονή του λύτη σε μία αρχική ιδέα .
(Δικαίωση ή ουτοπία;)
Να αποδειχτεί (θεωρητικά) ότι:
$e(e - 1) > e^{e - 1} - 1.$
Να χαρακτηριστεί η παρακάτω διαδικασία διαπραγμάτευσης του θέματος επιλέγοντας έναν από τούς χαρακτηρισμούς ‘ΣΩΣΤΟ’ Ή ‘ΛΑΘΟΣ’. Ας αιτιολογηθεί η απάντηση.
Διαπραγμάτευση του θέματος :
$e(e - 1) > e^{e - 1} - 1 \Leftrightarrow e^2 - e > e^{e - 1} - 1 \Leftrightarrow e^2 - e^{e - 1} - e + 1 > 0.$
Γνωρίζουμε ότι:
$\left( {1 + \frac{a} {n}} \right)^n = 1 + a + \frac{{n - 1}} {{2! \cdot n}}a^2 + \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}} {{3! \cdot n^2 }}a^3 + ... + \frac{{a^n }} {{n^n }}.....\left( \sigma \right).$ Επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε:
$u_n = \left( {1 + \frac{2} {n}} \right)^n - \left( {1 + \frac{{e - 1}} {n}} \right)^n - \left( {1 + \frac{1} {n}} \right)^n + 1....(\alpha )$ που σημαίνει ότι τελικά θέλουμε
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } u_n > 0.$ Υπενθυμίζουμε ότι:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{x} {n}} \right)^n = e^x ,x \in \mathbb{R}.$ Με βάση τα προηγούμενα και αναπτύσσοντας το 2ο)μέλος της (α) αρκεί να αποδειχθεί ότι:
$2 - e + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{{n - 1}} {{2! \cdot n}}\left( {2^2 - \left( {e - 1} \right)^2 - 1} \right) + ... + \frac{{2^n - \left( {e - 1} \right)^n - 1}} {{n^n }}} \right] > 0,$ με
$2 - e = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {2 - \left( {1 + \frac{1} {n}} \right)^n } \right] = -\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{n - 1}} {{2!n}} + \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}} {{3!n^2 }} + ... + \frac{1} {{n^n }}} \right),$ δηλαδή αρκεί
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } u_n^{\prime} > 0,o\tau \alpha \nu$
$u_n^{\prime} = \frac{{n - 1}} {{2! \cdot n}}\left[ {2^2 - \left( {e - 1} \right)^2 - 2} \right] + \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}} {{3! \cdot n^2 }}\left[ {2^3 - \left( {e - 1} \right)^3 - 2} \right] + ... + \frac{1} {{n^{n - 2} }}\left[ {2^n - \left( {e - 1} \right)^n - 2} \right] + \frac{{a^n }} {{n^n }}.$ Έστω συνάρτηση
$f:\left[ {2, + \infty } \right) \to \mathbb{R} \wedge f\left( x \right) = 2^x - \left( {e - 1} \right)^x - 2 \Rightarrow f^{\prime} \left( x \right) > 0 \wedge f\left( 3 \right) > 0,$ αφού
2 > e - 1 > 0.

Το βήμα αυτό δηλ. η μονοτονία της f δίνει την βεβαιότητα των θετικών παραγόντων για κάθε φυσικό αριθμό x>2 ,οπότε θεωρείται σημαντικό ώστε να εξασφαλίσουμε όλες τις αγκύλες πλην της πρώτης θετικές . Παρατηρούμε ότι:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n - 1}} {{2! \cdot n}}\left[ {2^2 - \left( {e - 1} \right)^2 - 2} \right] \approx - 0,4762... > - 0,48,$
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}} {{3! \cdot n^2 }}\left[ {2^3 - \left( {e - 1} \right)^3 - 2} \right] > 0,15,$
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}} {{4! \cdot n^3 }}\left[ {2^4 - \left( {e - 1} \right)^4 - 2} \right] > 0,22,$
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)}} {{5! \cdot n^4 }}\left[ {2^5 - \left( {e - 1} \right)^5 - 2} \right] > 0,12,$ με την παρατήρηση ότι:
- 0,48 + 0,15 + 0,22 + 0,12 > 0.

Εδώ ,πράγματι μπορούμε να πούμε ότι ισχύει η ζητούμενη τελικά σχέση
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } u_n^{\prime} > 0$ .

S.E.Louridas

#2

Κυριε Λουριδα αυτην την φορα το πετυχατε -- και ειναι η μονη λυση που χρησιμοποιει τον ορισμο του e!

Αναπαραγοντας την λυση σας φτανω στην ανισοτητα (για το αρνητικο αρχικο αποκομμα των αθροισματων)

[(e-1)^2]/2 + [(e-1)^3]/6 + [(e-1)^4]/24 + [(e-1)^5]/120 < 17/6

Η ανισοτητα αυτη *δεν* μπορει να αποδειχθει μεσω της προσεγγισης e-1 < 7/4, καθως στα δεξια θα εχουμε 17/6 = 2.83333 ενω στα αριστερα θα εχουμε κατι μικροτερο του 1.532 + .894 + .391 + .137 = 2.954

Οποτε καλυτερα θα ηταν να μεινουμε στο e-1 < 1.72: με 1.72^2 < 2.96, 1.72^3 < 5.1, 1.72^4 < 8.78, 1.72^5 < 15.2, η αριστερη πλευρα ειναι μικροτερη του 1.48 + .85 + .37 + .13 = 2.83

Γιωργος Μπαλογλου

ΥΓ Ακριβεις υπολογισμοι δινουν [(e-1)^2]/2 + [(e-1)^3]/6 + [(e-1)^4]/24 + [(e-1)^5]/120 ~ 2.809821

#3

Σκεπτομενος περισσοτερο την λυση του κ. Λουριδα καταληγω στην εξης 'συνοψη' (το πρωτο σκελος της οποιας παρουσιαζει αρκετο θεωρητικο ενδιαφερον και ειναι ισως αξιο σχολιασμου) στο συνημμενο:

S.E.Louridas · #4

Κε Μπαλόγλου
Επιτρέψτε μου κάποιους Μαθηματικούς Απολογισμούς με κάθε επιφύλαξη .
*Για τους τελευταίους τέσσερις (πεπερασμένο πλήθος) υπολογισμούς των αντίστοιχων ορίων χρησιμοποίησα την εξής σειρά συνεπαγωγών:
$e < 2,72 \Rightarrow 1 < e - 1 < 1,72 \Rightarrow \left( {e - 1} \right)^k < 1,72^k \Rightarrow - \left( {e - 1} \right)^k > - 1,72^k \Rightarrow c - \left( {e - 1} \right)^k > c - 1,72^k ,$
με c τυχούσα σταθερή (εδω c=2^k-2) και k τον τυχόντα ακέραιο μεγαλύτερο του 1 σε συνδυασμό με το γεγονός
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n - 1}} {n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}} {{n^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}} {{n^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)}} {{n^4 }} = 1.$

*Στο συνημμένο μήπως τελικά εννοείτε ,αν ισχύει :
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{a} {n}} \right)^n = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {1 + a + \frac{{n - 1}} {{2!n}}a^2 + \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}} {{3!n^2 }}a^3 + ... + \frac{{a^n }} {{n^n }}} \right] = e^a ,$ όταν α θετικός ακέραιος και δη μεγαλύτερος της μονάδας ή θέλετε επιπλέον γενίκευση του σημείου αυτού της λύσης;

Σ.Ε.Λουρίδας

#5

S.E.Louridas έγραψε:Κε Μπαλόγλου
Επιτρέψτε μου κάποιους Μαθηματικούς Απολογισμούς με κάθε επιφύλαξη .
*Για τους τελευταίους τέσσερις (πεπερασμένο πλήθος) υπολογισμούς των αντίστοιχων ορίων χρησιμοποίησα την εξής σειρά συνεπαγωγών:
$e < 2,72 \Rightarrow 1 < e - 1 < 1,72 \Rightarrow \left( {e - 1} \right)^k < 1,72^k \Rightarrow - \left( {e - 1} \right)^k > - 1,72^k \Rightarrow c - \left( {e - 1} \right)^k > c - 1,72^k ,$
με c τυχούσα σταθερή (εδω c=2^k-2) και k τον τυχόντα ακέραιο μεγαλύτερο του 1 σε συνδυασμό με το γεγονός
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n - 1}} {n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}} {{n^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}} {{n^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)}} {{n^4 }} = 1.$

*Στο συνημμένο μήπως τελικά εννοείτε ,αν ισχύει :
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{a} {n}} \right)^n = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {1 + a + \frac{{n - 1}} {{2!n}}a^2 + \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}} {{3!n^2 }}a^3 + ... + \frac{{a^n }} {{n^n }}} \right] = e^a ,$ όταν α θετικός ακέραιος και δη μεγαλύτερος της μονάδας ή θέλετε επιπλέον γενίκευση του σημείου αυτού της λύσης;

Καμμια επιπλεον γενικευση οσον αφορα το συγκεκριμενο προβλημα -- απλως ηθελα να επισημανω το καιριο κατ' εμε σημειο της λυσης σας. [Πιο συγκεκριμενα, δειξατε οτι limΑn,2 > -0.48, limΑn,3 > 0.15, limΑn,4 > 0.22, limΑn,5 > 0.12 ... και βεβαια limΑn,k > 0 για *ολα* τα k > 2 (κατι που αποδεικνυεται οχι μονο με παραγωγους, οπως στην λυση σας, μα και με επαγωγη).]

Πιστευω ομως οτι η μεθοδος σας -- και συγκεκριμενα η εναλλαγη αθροισματος και οριων οπως στο συνημμενο μου -- μπορει να εφαρμοσθει και σε αλλα προβληματα.

Γιωργος Μπαλογλου

S.E.Louridas · #6

$e\left( {e - 1} \right) > e^{e - 1} - 1...$ Στόχοι του λύτη.
Κατ’ αρχήν ευχαριστώ τον κύριο Μπαλόγλου.
Επειδή αισθάνομαι ότι στο εδώ στο mathematica είμαστε εραστές τόσο των Μαθηματικών αλλά και της Κατάθεσης των απόψεών μας (κύρια των Μαθηματικών)
ώστε να διευρύνονται κυκλικά οι Μαθηματικοί και όχι μόνο ορίζοντές μας ,επιτρέψτε μου να καταθέσω τους στόχους πού έβαλα σαν λύτης του θαυμάσιου για μένα προβλήματος :Να αποδειχθεί ότι
$e\left( {e - 1} \right) > e^{e - 1} - 1.$
1ος Στόχος (Διδακτικός):
Τα βήματα της διαδικασίας για την επίλυση να τα παρουσιάσω χωρίς μοντάζ ,ώστε να δουν οι λύτες (και ειδικά οι νεότεροι) ότι για την επίλυση ενός καινούργιου και μη εύκολου προβλήματος χρειάζεται και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
2ος Στόχος (Μαθηματικός):
Να υπάρξει αρχική-κεντρική ιδέα λύσης που να πείθει με Αυστηρή Μαθηματική διαδικασία με βήματα στηριγμένα στους κανόνες της Μαθηματικής Λογικής (προφανώς ΟΧΙ με την Φορμαλιστική σημασία του όρου) και όχι με μείζονος ακρίβειας υπολογιστικών διαπιστώσεων. Μία λοιπόν από τις ισχυρές Μεθόδους πού διδάσκουμε τόσο στους Φοιτητές των Μαθηματικών ,όσο και στα παιδιά των ομάδων για τους διεθνείς διαγωνισμούς ,όταν πρόκειται για αποδείξεις ‘Σφικτών’ ανισοτήτων είναι KAI μέσω ορίων (lim) ,αν βέβαια οι συνθήκες το επιτρέπουν. Η παρουσία του e και δυνάμεων του μας οδήγησε στην ‘εκμετάλλευση’ της γνώσης
$\ma{\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{a} {n}} \right)^n = e^a ,a \in \mathbb{R}.$ Αυτή η αρχική ιδέα δεν άλλαξε καθόλου σε όλη την διάρκεια της διαδικασίας της επίλυσης. Εκεί υπήρξαν διάφορα Μαθηματικά ερωτηματικά που αντιμετωπίστηκαν είτε με την μονοτονία της f είτε με στοιχειώδεις υπολογισμούς στο τέλος, για τους οποίους χρησιμοποιήθηκε ότι:
$e < 2,72 \Rightarrow 1 < e - 1 < 1,72 \Rightarrow \left( {e - 1} \right)^k < 1,72^k \Rightarrow - \left( {e - 1} \right)^k > - 1,72^k \Rightarrow c - \left( {e - 1} \right)^k > c - 1,72^k ,$
με c τυχαία σταθερή και k τυχαίο ακέραιο μεγαλύτερο του 1 (εδώ c=2^k+1).
Επειδή ισχύει η σχέση
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt[n]{a} = 1$ και όταν α σταθερή μεγαλύτερη της μονάδας (π.χ. για α=e),μού ήρθε μία ιδέα που την προτείνω σαν Ανοικτό Πρόβλημα (open problem).

‘Είναι δυνατόν να προσδιοριστεί ακέραιος κ μεγαλύτερος του 2,ώστε να ισχύει η σχέση:
$e\left( {e - \sqrt[k]{e}} \right) > e^{e - 1} - 1;$ ’

S.E.Louridas

#7

S.E.Louridas έγραψε: ‘Είναι δυνατόν να προσδιοριστεί ακέραιος κ μεγαλύτερος του 2,ώστε να ισχύει η σχέση:
$e\left( {e - \sqrt[k]{e}} \right) > e^{e - 1} - 1;$ ’
S.E.Louridas

Η συνάρτηση $f(x)=e\left(e-e^{\frac{1}{x}\right)-e^{e-1}+1$ έχει παράγωγο ίση με

$f^{\prime}(x)=\frac{e^{\frac{x+1}{x}}}{x^2}>0$ άρα η

είναι γνησίως αύξουσα.

και επειδή $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=e(e-1)-e^{e-1}+1 > 0$ (λόγω της ανισότητας που ήταν η αφορμή γι' αυτό το post) άρα λοιπόν είναι σίγουρο ότι υπάρχουν ακέραιοι με τη ζητούμενη ιδιότητα και μάλιστα λόγω της μονοτονίας αν βρούμε κάποιον τότε όλοι οι μεγαλύτεροι από αυτόν θα έχουν τη ζητούμενη ιδιότητα. Με τη βοήθεια του υπολογιστή βρήκα ότι ο μικρότερος ακέραιος για τον οποίο ισχύει η εν λόγω ιδιότητα είναι ο k=29

.

Αλέξανδρος

S.E.Louridas · #8

Η Μαθηματική προσέγγιση του Αλέξανδρου μας έδωσε εκτός των άλλων ,να καταλάβουμε στην πράξη το θετικό της συνύπαρξης Ανάλυσης και υπολογιστή σε κάποιες στιγμές.
Επιτρέψτε μου τώρα μία διεύρυνση ,πάντα στα πλαίσια μίας Μαθηματικής κουβέντας.

‘'Είναι δυνατόν να προσδιοριστεί ελάχιστος θετικός ακέραιος ,έστω k >2 τέτοιος πού
e(e-e^1/k)>e^(e-1/e^1/k) -1 '' δηλ. $(e\left( {e - \sqrt[k]{e}} \right) > e^{e - \frac{1} {{\sqrt[k]{e}}}} - 1).$

S.E.Louridas

e(e-1)>....Η εμμονή του λύτη;

e(e-1)>....Η εμμονή του λύτη;

Re: e(e-1)>....Η εμμονή του λύτη;

Re: e(e-1)>....Η εμμονή του λύτη;

Re: e(e-1)>....Η εμμονή του λύτη;

Re: e(e-1)>....Η εμμονή του λύτη;

Re: e(e-1)>....Η εμμονή του λύτη;

Re: e(e-1)>....Η εμμονή του λύτη;

Re: e(e-1)>....Η εμμονή του λύτη;

Μέλη σε σύνδεση