όριο χωρίς...

diomides · #1

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln x}{x}$ χωρίς .... καταλάβατε!

Λογικά πρέπει να έχει ξανασυζητηθεί αλλά πού να ψάχνεις τώρα.

Edit από Γενικούς Συντονιστές (μπήκαν τόνοι).

makisman · #2

επιχειρω μια λυση (ελπίζω να μην εχει ξανατεθει...μαλλον απιθανο)

θέτω $x=u^2 ,u>1 \Rightarrow u\rightarrow \+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{lnx}{x}=\lim_{u\rightarrow +\infty} \frac{lnu^2}{u^2}=\lim_{u\rightarrow +\infty} \frac{2lnu}{u^2}$

ομως $0<\frac{lnu}{u^2}<\frac{u}{u^2}=\frac{1}{u}$

Από κριτήριο παρεμβολής στην τελευταία ισχύει $\lim_{u\rightarrow +\infty} \frac{2lnu}{u^2}=0$

αρα $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{lnx}{x}=0$

styt_geia · #3

Πήγα να επιχειρήσω κάτι σαν το παραπάνω αλλά έκανα πατάτα λόγω νύστας. Αποσύρω.

diomides · #4

Θεωρώ την συνάρτηση $f(x)=\ln x-2\sqrt{x}$ για x>1

. Έχω
$f{'}(x)=\frac{1-\sqrt{x}}{x}<0$ για x>1

, άρα

γν.φθίνουσα για
x>1

. Οπότε $x>1\Rightarrow\ln x-2\sqrt{x}<-2\Rightarrow 0<\ln x<2(\sqrt{x}-1)\Rightarrow0<\frac{\ln x}{x}<2(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x})$ . Άρα από κριτήριο παρεμβολής
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}0=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}2(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x})=0\Rightarrow\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ .

#5

Πιο απλά, με χρήση της γνωστής ανισότητας $\displaystyle{\ln t<t. }$

Είναι $\displaystyle{\frac{\ln x}{x}=\frac{2\ln \sqrt{x}}{x}<2\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}}$ για κάθε $\displaystyle{x>0.}$

Άρα, για αρκετά μεγάλο $\displaystyle{x}$ (μας κάνει $\displaystyle{x>1}$ ) έχουμε

$\displaystyle{0<\frac{\ln x}{x}<\frac{2}{\sqrt{x}}.}$

Το κριτήριο παρεμβολής μας λέει τώρα $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0.}$

όριο χωρίς...

όριο χωρίς...

Re: οριο χωρις...

Re: οριο χωρις...

Re: οριο χωρις...

Re: οριο χωρις...

Μέλη σε σύνδεση