ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Cristoforos S. · #1

Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε να ισχύει για κάθε χ στο IR η ανισότητα
χ^4 + αχ^3 + (α+3)χ^2 + αχ + 1 > 0.

#2

Για

η ανισότητα είναι αλήθής για κάθε $a\in\mathbb{R}.$

Αρκεί να βρούμε τις τιμές του

για τις οποίες $\displaystyle{x^2+ax+a+3+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}>0}$ για κάθε $x\in\mathbb{R}^*.$
Αν $y=\displaystyle{x+\frac{1}{x}}$ τότε καθώς το

διατρέχει το $\mathbb{R}^*$ , το

διατρέχει το σύνολο $\left(-\infty,-2 \right]\bigcup{}\left[2,+\infty \right).$ Επίσης $y^2-2=\displaystyle{\frac{1}{x^2}+x^2.}$

Τελικά το πρόβλημα ανάγεται στο να βρούμε τις τιμές του

για τις οποίες y^2+ay+a+1>0

για κάθε $y \in \left(-\infty,-2 \right]\bigcup{}\left[2,+\infty \right).$

Θέτουμε g(y)=y^2+ay+a+1

, $y\in\mathbb{R}.$ Η

παρουσιάζει ελάχιστο για $y=\displaystyle{-\frac{a}{2}}$ το $\displaystyle{g(-\frac{a}{2})=\frac{-a^2+4a+4}{4}.}$

Είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left(-\infty,-\frac{a}{2} \right]}$ και γνησίως αύξουσα στο $\left[\displaystyle{-\frac{a}{2}},+\infty \right).$

Ψάχνουμε τις τιμές του

για τις οποίες g(y)>0

για κάθε $y \in \left(-\infty,-2 \right]\bigcup{}\left[2,+\infty \right).$ $\left( \bigstar\right)$

$\bullet$ Aν $\left|\displaystyle{-\frac{a}{2}} \right|\geq2 \Leftrightarrow \left|a \right|\geq 4$ τότε η $\left( \bigstar\right)$ είναι αληθής όταν $\displaystyle{g(-\frac{a}{2})>0\Leftrightarrow 2-2\sqrt{2}<a<2+2\sqrt{2}}$ οπότε $4\leq a<2+2\sqrt{2}.$

$\bullet$ Αν -4<a<4

τότε η $\left( \bigstar\right)$ είναι αληθής όταν f(-2)>0

και

Συναληθεύοντας προκύπτουν οι λύσεις $\displaystyle{-\frac{5}{3}<a<4.}$

Οι ζητούμενες τιμές του

είναι $\displaystyle{-\frac{5}{3}<a<2+2\sqrt{2}.}$

Cristoforos S. · #3

Ευχαριστώ πολύ.

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Μέλη σε σύνδεση