Σταθερή συνάρτηση

mathxl · #1

Αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο R και κάθε ανοικτό διάστημα έχει εικόνα κλειστό διάστημα τότε να δείξετε ότι η f είναι σταθερή

#2

Μια μη λυκειακή λύση:

Υποθέτουμε πως η f δεν είναι σταθερή. Έστω a<b

με $f(a) \neq f(b)$ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορώ να υποθέσω ότι f(a) < f(b)

. (Αλλιώς δουλέυω με την -f.) Έστω $A = \{x \in [a,b]: f(x) \leqslant f(y) \forall y \in [a,b]\}$ και έστω $a^{\prime} = \sup{A}$ . (Τα Α είναι μη κενό επειδή [a,b]

κλειστο και φραγμένο.) Έχουμε $f(a^{\prime}) \leqslant f(a) < f(b)$ και άρα $a^{\prime} \neq b$ . Έστω $B = \{x \in [a^{\prime},b]: f(x) \geqslant f(y) \forall y \in [a^{\prime},b]\}$ και έστω $b^{\prime} = \inf{B}$ . (Το Β είναι μη κενό επειδή $\color{blue}[a^{\prime},b]$ κλειστο και φραγμένο.) Έχουμε $\color{blue} f(b^{\prime}) \geqslant f(b) > f(a)$ και άρα $\color{blue} a^{\prime} \neq b^{\prime}$ . Από τον ορισμό των $\color{blue} a^{\prime}$ και $\color{blue} b^{\prime}$ και την συνέχεια της $\color{blue} f$ παρατηρούμε ότι η εικόνα του ανοικτού διαστήματος $(a^{\prime},b^{\prime})$ είναι το ανοικτό διάστημα $(f(a^{\prime}),f(b^{\prime}))$ , άτοπο.

Έκανα μερικές προσθήκες μετά από υπόδειξη του Μ. Λάμπρου.

#3

Καλημέρα. Για μένα βλέποντας αρχικα την άσκηση μου δημιουργήθηκε η εξης απορία, την οποία εξέφρασα και με Π.Μ στο Βασίλη( mathxl ): Αντε και καλά δείξαμε πως είναι η σταθερή συνάρτηση f(x)=c , c πραγματικός. Μα τώρα , το σύνολο τιμών της είναι το μονοσύνολο {c} . Είναι το μονοσύνολο {c} κλειστό διάστημα;;

Μήπως, τοπολογικά το μονοσύνολο είναι και κλειστό διάστημα;; ( δεν το γνωρίζω και θα ήθελα να μάθω αν ισχύει κάτι τέτοιο...)

#4

chris_gatos έγραψε:Καλημέρα. Για μένα βλέποντας αρχικα την άσκηση μου δημιουργήθηκε η εξης απορία, την οποία εξέφρασα και με Π.Μ στο Βασίλη( mathxl ): Αντε και καλά δείξαμε πως είναι η σταθερή συνάρτηση f(x)=c , c πραγματικός. Μα τώρα , το σύνολο τιμών της είναι το μονοσύνολο {c} . Είναι το μονοσύνολο {c} κλειστό διάστημα;;
Μήπως, τοπολογικά το μονοσύνολο είναι και κλειστό διάστημα;; ( δεν το γνωρίζω και θα ήθελα να μάθω αν ισχύει κάτι τέτοιο...)

καλημέρα! θα πρέπει, σύμφωνα με τον ορισμό, κάθε ακολουθία στοιχείων του συνόλου να συγκλίνει σε σημείο του συνόλου, το οποίο ισχύει

#5

Demetres έγραψε:Μια μη λυκειακή λύση:

Υποθέτουμε πως η f δεν είναι σταθερή. Έστω με $f(a) \neq f(b)$ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορώ να υποθέσω ότι . (Αλλιώς δουλέυω με την -f.) Έστω $A = \{x \in [a,b]: f(x) \leqslant f(y) \forall y \in [a,b]\}$ και έστω $a^{\prime} = \sup{A}$ . (Τα Α είναι μη κενό επειδή κλειστο και φραγμένο.) Έχουμε $f(a^{\prime}) \leqslant f(a) < f(b)$ και άρα $a^{\prime} \neq b$ . Έστω $B = \{x \in [a^{\prime},b]: f(x) \geqslant f(y) \forall y \in [a^{\prime},b]\}$ και έστω $b^{\prime} = \inf{B}$ . Παρατηρούμε τώρα ότι η εικόνα του ανοικτού διαστήματος $(a^{\prime},b^{\prime})$ είναι το ανοικτό διάστημα $(f(a^{\prime}),f(b^{\prime}))$ , άτοπο.

Δημήτρη, πάρα πολύ ωραία η λύση σου.
Μία μόνο μικρή προσθήκη χρειάζεται: Να δείξεις ότι α' $\ne$ b'.
Το τελευταίο βέβαια είναι ορθό και απλό αλλά χρειάζεται...

Οφείλω να σε ευχαριστήσω δημόσια για τις εκπληκτικές παρεμβάσεις σου στο mathematica.

Δυστυχώς αυτόν τον καιρό δεν μπαίνω στο mathematica όσο συχνά θα επιθυμούσα γιατί δεν έχω ιντερνέτ στην νέα μου κατοικία. Έτσι δεν μπορώ να απολαμβάνω αδιαλείπτως τις έξοχες συζητήσεις στην Λέσχη μας.

Φιλικά,

Μιχάλης

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση