ΘΕΜΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

[swsto]

Προτεινομενο θεμα απο τo Internet ( πολλαπλης επιλογης )

Αν α,β>0 με α+β=1 f:R->R και η f γν.αυξουσα με f(αx+βf(x))=x τοτε ο τυπος της f ειναι ....

Σωστή απαντηση η f(x)=x

Καθως την διαβαζα σκεφτηκα αν θα μπορουσε μια τετοια ασκηση να δωθει με εκφωνηση .... να βρεθει ο τυπος της f

Σωτηρης

[chris_gatos]

Αν υπάρχει χ στο R τέτοιο ώστε: f(x)>x τότε και βf(x)>βx δηλαδή αx+βf(x)>αx+βx. Έπειδη η f είναι γνησίως αύξουσα θα έχουμε: f(αx+βf(x))>f(αx+βx)=f(x)>x άτοπο. Ομοίως αποκλείουμε και την περίπτωσή να υπάρχει χ τέτοιο ώστε f(x)<x, Aρα:
f(x)=x για κάθε χ στο R.