ανισοτικές σχέσεις

#1

Προτείνω μια άσκηση γεωμετρίας...
Εαν απο σημείο Α εκτός ευθείας ΜΝ, φέρουμε πρός αυτή την κάθετο ΑΒ και τις πλάγιες ΑΓ,ΑΔ,ΑΕ,των οποίων τα μήκη είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε οτι η απόσταση ΓΔ>ΔΕ.

Djimmakos · #2

Nα ρωτήσω κάτι επειδή δεν είμαι σίγουρος:

Αριθμητική πρόοδος δεν είναι η ακολουθία στην οποία κάθε όρος, εκτός από τον πρώτο, ισούται με τον προηγούμενο συν έναν αριθμό ο οποίος είναι ίδιος για όλους τους όρους της;

Δηλαδή:

1,3,5,7...

#3

Kαλησπέρα και σ' ευχαριστώ που ασχολείσαι με την άσκηση. Είσαι περίπου...σωστός, όσον αφορά την αριθμητική πρόοδο.
Είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία ο επόμενος όρος της, προκύπτει απο τον προηγούμενο, αν προσθέσουμε σε αυτόν τον ίδιο πάντα αριθμό.
Πχ οι αριθμοί 1,3,5,7,9 συνιστούν μια αριθμητική πρόοδο, γιατί ο επόμενος προκύπτει απο τον προηγούμενο του, προσθέτοντας πάντα το 2.
Στη συγκεκριμένη έχεις απόλυτο δίκιο να έχεις απορία και λάθος μου που την έβαλα στην Α' λυκείου.
Για να σε βοηθήσω στο συγκεκριμένο κομμάτι της, η άσκηση εννοεί: 2ΑΔ=ΑΓ+ΑΕ.

Djimmakos · #4

Οκ ευχαριστώ.Θα την κοιτάξω και θα προσπαθήσω να βρω τη λύση.

Βέβαια δεν ξέρω αν θα προλάβω γιατί θέλω να διαβάσω και για τον Ευκλείδη που δίνω το σάββατο. Δυστυχώς εδώ σ' εμάς, δεν κάνουν κάποιο μάθημα προετοιμασίας όπως σε άλλες πόλεις

#5

Απο που είσαι;;;;
Χαίρομαι ιδιαίτερα που σε γνωρίζω και σου εύχομαι καλή πρόοδο...Να'σαι πάντα καλά!

Djimmakos · #6

Από τα Τρίκαλα Θεσσαλίας είμαι...

Και εγώ χαίρομαι που βρήκα ένα ωραίο forum που μου λύνει τις απορίες! Περνάω και δημιουργικά το χρόνο που ξοδέυω στο pc τουλάχιστον...

#7

Μπράβο Djimmako!Καλή επιτυχία και στον ευκλείδη!

Djimmakos · #8

Eυχαριστώ!!

#9

Djimmakos έγραψε:Οκ ευχαριστώ.Θα την κοιτάξω και θα προσπαθήσω να βρω τη λύση.

Βέβαια δεν ξέρω αν θα προλάβω γιατί θέλω να διαβάσω και για τον Ευκλείδη που δίνω το σάββατο. Δυστυχώς εδώ σ' εμάς, δεν κάνουν κάποιο μάθημα προετοιμασίας όπως σε άλλες πόλεις

Αγαπητέ Djimmako,

αφού προετοιμάζεσαι χωρίς βοήθεια για τον Ευκλείδη, να μία ευκαιρία να σε βοηθήσει η Λέσχη μας για τον σκοπό σου. Σου δίνω λίγες υποδείξεις για την παραπάνω άσκηση.

Τρεις διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου είναι της μορφής λ, λ+δ, λ+2δ. Επειδή οι τρεις αυτοί όροι δεν έχουν "συμμετρία", σε μερικές ασκήσεις μας βολεύει να παίρνουμε τους όρους ως μ-δ, μ , μ+δ. Ακόμα καλύτερα, μας βολεύει να τους γράφουμε στην μορφή α, (α+β)/2, β. Ερώτηση πρώτη: γιατί είναι σωστό το τελευταίο;
Αν πάρουμε α = 2χ, β = 2ψ,τότε οι τρεις διαδοχικοί όροι είναι 2χ, χ+ψ, 2ψ. Ερώτηση δεύτερη: είναι σωστό αυτό;

Τώρα ας δούμε την άσκηση. Βάλε ΑΒ = φ. Αν συμφωνείς μα τα παραπάνω που έγραψα, μπορούμε να θεωρήσουμε
ΑΓ = 2χ, ΑΔ = χ+ψ, ΑΕ = 2ψ.

Ερώτηση τρίτη: Πόσο είναι τα ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ συναρτήσει των χ, ψ, φ; Πόσο είναι τα ΓΔ, ΔΕ συναρτήσει των χ, ψ, φ;

Αφού λοιπόν βρεις τα ΓΔ, ΔΕ συναρτήσει των χ, ψ, φ, γράψε το αποδεικτέο συναρτήσει των χ, ψ, φ.

Θα βρεις μία παράσταση με ριζικά. Για να αποδείξεις ότι ισχύει, ύψωσέ την στο τετράγωνο, αφού πρώτα μαζέψεις τους όμοιους όρους μαζι για να μην είναι μεγάλες οι πράξεις. Στο τέλος, πηγαίνοντας με ισοδυναμίες, θα καταλήξεις σε κάτι που ισχύει, όπως το $(a-b)^2 \ge 0$ .

Καλό διάβασμα.

Μιχάλης Λάμπρου.

Djimmakos · #10

Eρώτηση 1η: Αν a,b,c είναι διαδοχικοί αριθμοί μιας αριθμητικής προόδου, τότε προφανώς ισχύει η σχέση:

b-a=c-b

(α) διότι θα είναι
a=a

(i)

(ii)

(ii)

Δηλαδή αν αντικαταστήσουμε τις (i)(ii)(iii) στην (α) παίρνουμε:

$a+l-a = a+2l - (a+l) \Leftrightarrow l=l$

Από την (α) διαδοχικά παίρνουμε ότι:

$b=\frac{a+c}{2}$ ,

δηλαδή ότι ο μεσαίος αριθμός από τρεις διαδοχικούς αριθμούς μια αριθμητικής πρόοδου, ισούται με το ημιάθροισμα του προηγούμενου και του επόμενου.
Δηλαδή αυτό που έχετε γράψει εσείς ισχύει.

Ερώτηση 2η: Αυτό προκύπτει εύκολα από την απάντηση στην πρώτη ερώτηση, αφού ο μεσαίος αριθμός θα ισούται με:

$\frac{2x+2y}{2} = \frac{2(x+y)}{2}=x+y$

Τώρα πίσω στην άσκηση:

.JPG

Από το σχήμα και το Πυθαγόρειο θεώρημα παίρνουμε τις εξής σχέσεις:

$BC^2=(2x)^2-f^2 \Leftrightarrow BC = \sqrt{4x^2-f^2$
$BD^2=(x+y)^2-f^2 \Leftrightarrow BD=\sqrt{(x+y)^2-f^2}$
$BE^2=(2y)^2-f^2 \Leftrightarrow BE=\sqrt{4y^2-f^2}$

Eπίσης είναι:

$CD=BD-BC=\sqrt{(x+y)^2-f^2}-\sqrt{4x^2-f^2}$
και
$DE=BE-BD=\sqrt{4y^2-f^2}-\sqrt{(x+y)^2-f^2}$

Τώρα αρκεί να δείξουμε ότι

$\sqrt{(x+y)^2-f^2}-\sqrt{4x^2-f^2}>\sqrt{4y^2-f^2}-\sqrt{(x+y)^2-f^2}$

Βέβαια αυτή η ανίσωση θέλει πολύ χρόνο για να αποδειχθεί, τον οποίον δεν έχω τώρα..

Ελπίζω να είμαι σωστός στις σκέψεις μου...

Ευχαριστώ πάντως για τη βοήθεια!

#11

Djimmakos έγραψε:

Τώρα αρκεί να δείξουμε ότι

$\sqrt{(x+y)^2-f^2}-\sqrt{4x^2-f^2}>\sqrt{4y^2-f^2}-\sqrt{(x+y)^2-f^2}$

Βέβαια αυτή η ανίσωση θέλει πολύ χρόνο για να αποδειχθεί, τον οποίον δεν έχω τώρα..

Ελπίζω να είμαι σωστός στις σκέψεις μου...

Ευχαριστώ πάντως για τη βοήθεια!

Μπράβο, όλα σωστά.

Αν θέλεις να συνεχίσεις, να μια ιδέα: πρώτα γράψε την αποδεικτέα στη μορφή

$2\sqrt{(x+y)^2-f^2} > \sqrt{4x^2-f^2} + \sqrt{4y^2-f^2}$

Τώρα οι πράξεις είναι σαφώς λιγότερες. Θα χρειαστεί όμως να υψώσεις δύο φορές
στο τεράγωνο. Σου συνιστώ να το κάνεις, αν βρεις χρόνο, γιατί ένας μαθηματικός
πρέπει να έχει, μέσα σε πολλές άλλες δεξιότητες, και την ευχέρεια στον χειρισμό μεγάλων
παραστάσεων.

Καλό διάβασμα.

Μιχάλης Λάμπρου

Djimmakos · #12

Θα το κοιτάξω αργότερα...

Ευχαριστώ πάντως για τη βοήθεια και πάλι!

Djimmakos · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Djimmakos έγραψε:

Τώρα αρκεί να δείξουμε ότι

$\sqrt{(x+y)^2-f^2}-\sqrt{4x^2-f^2}>\sqrt{4y^2-f^2}-\sqrt{(x+y)^2-f^2}$

Βέβαια αυτή η ανίσωση θέλει πολύ χρόνο για να αποδειχθεί, τον οποίον δεν έχω τώρα..

Ελπίζω να είμαι σωστός στις σκέψεις μου...

Ευχαριστώ πάντως για τη βοήθεια!
Μπράβο, όλα σωστά.

Αν θέλεις να συνεχίσεις, να μια ιδέα: πρώτα γράψε την αποδεικτέα στη μορφή

$2\sqrt{(x+y)^2-f^2} > \sqrt{4x^2-f^2} + \sqrt{4y^2-f^2}$

Τώρα οι πράξεις είναι σαφώς λιγότερες. Θα χρειαστεί όμως να υψώσεις δύο φορές
στο τεράγωνο. Σου συνιστώ να το κάνεις, αν βρεις χρόνο, γιατί ένας μαθηματικός
πρέπει να έχει, μέσα σε πολλές άλλες δεξιότητες, και την ευχέρεια στον χειρισμό μεγάλων
παραστάσεων.

Καλό διάβασμα.

Μιχάλης Λάμπρου

Tελικά βρήκα χρόνο και το απέδειξα...

Βγαίνει 0 < (x-y)^2

το οποίο δεν μπορεί να ίσο με το 0, γιατί το χ δεν μπορεί να είσαι ίσο με το y, αφού είναι όροι αριθμητικής προόδου

Έτσι δεν είναι;

Λοιπόν παραθέτω και την απόδειξή μου:

nicolae · #14

Νομίζω ότι το πρόβλημα πρέπει να επαναδιατυπωθεί, μιας και δεν βλέπω που χρησιμεύει η κάθετη ΑΒ.
Πρόβλημα:
Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Δ σημείο της πλευράς ΒΓ, ώστε τα μήκη ΑΒ, ΑΔ και ΑΓ να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να αποδείξετε ότι $B\Delta>\Gamma\Delta$
Λύση
Από το θεώρημα Πάππου (Stewart) στο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε:
$2x\omega(\alpha-\beta)=(\alpha\beta-\omega^2)(\alpha+\beta)\hspace{0.4cm}(1)$
Όμως από την τριγωνική ανισότητα στα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΓΔ παίρνουμε:
$\alpha>x-(x-\omega)=\omega$ και $\beta>(x+\omega)-x=\omega$
Οπότε είναι $\alpha\beta>\omega^2$ και άρα από την (1) παίρνουμε $\alpha>\beta$

nicolae · #15

Και κάτι ακόμα: Το θεώτημα ''Stewart'', υπάρχει στο σχολικό βιβλίο ως άσκηση 4 σελίδα 204.
Όμως θα έπρεπε να λέγεται θεώρημα ''Πάππου'' μιας και ο Πάππος το αναφέρει στην πρόταση 158 του ζ' βιβλίου της ''Συναγωγής''. Προτείνω στους συναδέλφους να υιοθετήσουν το Ελληνικό όνομα του θεωρήματος αυτού.

#16

Συγχαρητήρια Djimmakos!!
Go Ahead!!

Djimmakos · #17

rek2 έγραψε:Συγχαρητήρια Djimmakos!!
Go Ahead!!

Ευχαριστώ!!

#18

Djimmakos έγραψε:Eρώτηση 1η: Αν a,b,c είναι διαδοχικοί αριθμοί μιας αριθμητικής προόδου, τότε προφανώς ισχύει η σχέση:

(α) διότι θα είναι
(i)
(ii)
(ii)

Δηλαδή αν αντικαταστήσουμε τις (i)(ii)(iii) στην (α) παίρνουμε:

$a+l-a = a+2l - (a+l) \Leftrightarrow l=l$

Από την (α) διαδοχικά παίρνουμε ότι:

$b=\frac{a+c}{2}$ ,

δηλαδή ότι ο μεσαίος αριθμός από τρεις διαδοχικούς αριθμούς μια αριθμητικής πρόοδου, ισούται με το ημιάθροισμα του προηγούμενου και του επόμενου.
Δηλαδή αυτό που έχετε γράψει εσείς ισχύει.

Ερώτηση 2η: Αυτό προκύπτει εύκολα από την απάντηση στην πρώτη ερώτηση, αφού ο μεσαίος αριθμός θα ισούται με:

$\frac{2x+2y}{2} = \frac{2(x+y)}{2}=x+y$

Τώρα πίσω στην άσκηση:

.JPG
Από το σχήμα και το Πυθαγόρειο θεώρημα παίρνουμε τις εξής σχέσεις:

$BC^2=(2x)^2-f^2 \Leftrightarrow BC = \sqrt{4x^2-f^2$
$BD^2=(x+y)^2-f^2 \Leftrightarrow BD=\sqrt{(x+y)^2-f^2}$
$BE^2=(2y)^2-f^2 \Leftrightarrow BE=\sqrt{4y^2-f^2}$

Eπίσης είναι:

$CD=BD-BC=\sqrt{(x+y)^2-f^2}-\sqrt{4x^2-f^2}$
και
$DE=BE-BD=\sqrt{4y^2-f^2}-\sqrt{(x+y)^2-f^2}$

Τώρα αρκεί να δείξουμε ότι

$\sqrt{(x+y)^2-f^2}-\sqrt{4x^2-f^2}>\sqrt{4y^2-f^2}-\sqrt{(x+y)^2-f^2}$

Βέβαια αυτή η ανίσωση θέλει πολύ χρόνο για να αποδειχθεί, τον οποίον δεν έχω τώρα..

Ελπίζω να είμαι σωστός στις σκέψεις μου...

Ευχαριστώ πάντως για τη βοήθεια!

Για μία πιό γεωμετρική λύση:
Πάνω στην προέκταση της ΑΓ (προς το Γ), βρίσκουμε σημεία Κ και Λ με ΑΚ=ΑΔ και ΑΛ=ΑΕ. Από τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΚΔ και ΑΛΕ προκύπτει ότι γωνία ΚΑΔ<γωνία ΛΑΕ==>γωνία ΑΚΔ>γωνία ΑΛΕ. Επομένως, αν ΛΕ΄//ΚΔ (με ο Ε΄ πάνω στην ευθεία μας), συμπεραίνουμε ότι ΔΕ<ΔΕ΄=ΓΔ.

ανισοτικές σχέσεις

ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Re: ανισοτικές σχέσεις

Μέλη σε σύνδεση