mathematica.gr

Με αφορμή το μάθημα που παρακολούθησα σήμερα στο σχολείο πάνω στο διαφορικό λογισμό, μου δημιουργήθηκε η απορία αν μπορώ να κατασκευάσω μια συνάρτηση που να ορίζεται σε μία ένωση διαστημάτων, ξένων μεταξύ τους, που να είναι σταθερή σε καθένα από αυτά και να έχει σύνολο τιμών το .
Υ.Σ Το τοποθέτησα σε αυτό το φάκελο, επειδή θα προτίμουσα αν μπορεί κάποιος να μου δώσει μια δώσει μια "λυκειακή" εξήγηση , ή τουλάχιστον να την προσεγγίζει...

Γιώργος

'Οχι δεν είναι δυνατόν.
Απλά μιλώντας κάθε τέτοιο διάστημα θα περιέχει ένα ρητό.
'Αρα το πλήθος των διαστημάτων θα είναι το πολύ όσο το πλήθος των ρητών.
Αλλά σε κάθε διάστημα θα πρέπει να αντιστοιχεί και ένας πραγματικός και πρέπει να "εξαντλούνται" οι πραγματικοί.
Αρά το πλήθος των διαστημάτων θα πρέπει να είναι τουλάχιστον όσο το πλήθος των πραγματικών.
Ωστόσο είναι γνωστό ότι το πλήθος των πραγματικών είναι μεγαλύτερο από το πλήθος των ρητών.
΄Ατοπο
Μαυρογιάννης

Ευχαριστώ πολύ για την άμεση απάντηση και εξήγηση σας !

Με άλλα λόγια:

Γενικά ισχύει τό θεώρημα:
"Κάθε σύνολο μη υπερκειμένων διαστημάτων(οποιασδήποτε μορφής: κλειστών, ανοιχτών, ημιανοιχτών) είναι πεπερασμένο ή αριθμήσιμο"
(Θεωρία Πραγματικών συναρτήσεων, τόμ. Ι., Ιωάννου Αναστασιάδου καθηγητή Α.Π.Θ.,σελ.17)
Η απόδειξη στηρίζεται σ' αυτά που ανάφερε ο Νίκος.

Άρα:
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής του ερωτήματος του Γιώργου είναι η ένωση κάποιων τέτοιων διαστημάτων(κλειστών, ανοιχτών, ημιανοιχτών, ακόμα και
μεμονωμένων σημείων θα μπορούσε).
Το σύνολο αυτό σύμφωνα με το ανωτέρω θεώρημα είναι αριθμήσιμο.

Στο σχήμα:
εμφανίζεται ένα τέτοιο σύνολο που η ένωση τω στοιχείων του είναι το πεδίο ορισμού μιας "κλαδικής" συνάρτησης"
η οποία σε κάθε ένα επί μέρους διάστημα είναι σταθερή.
Οι εικόνες των διαστημάτων αυτών φαίνονται ως πράσινα σημεία στον άξονα των .
Επομένως εφόσον το σύνολο των διαστημάτων είναι αριθμήσιμο σύνολο, τότε και το σύνολο των τιμών της συνάρτησης, δηλαδή το σύνολο των "πράσινων σημείων"
θα είναι αριθμήσιμο και συνεπώς το σύνολο αυτό δεν είναι το .

Κώστας Δόρτσιος