2 ανισότητες

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα.

Ας δούμε δυο ανισότητες στο R.

Αν α,β,γ, ρ πραγματικοί με ρ>0, να δειχθεί ότι:

1. $\displaystyle{\displaystyle \left| {\alpha + \beta + \frac{{\rho - a\beta }}{{\alpha + \beta }}} \right| \ge \sqrt {3\rho } }$

2. $\displaystyle{\displaystyle \left| {\alpha + \beta + \gamma + \frac{{\rho - a\beta - \beta \gamma - \gamma \alpha }}{{\alpha + \beta + \gamma }}} \right| \ge \sqrt {\frac{{8\rho }}{3}} }$

Καλή Κυριακή, για δροσιά δεν ξέρω.
Θωμάς

#2

Kαλησπέρα!
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1η

Νομίζω , πως πρόκειται για ανισότητες και οχι ανισώσεις ( κι εγω έκανα το ίδιο λάθος, αλλά έμαθα! Ας είναι καλά ο Κύριος Αντώνης...).

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2η

Οι δύο ανισότητες ορίζονται για : $\displaystyle{\displaystyle a + \beta \ne 0 }$ και $\displaystyle{\displaystyle a + \beta + \gamma \ne 0 }$ η δεύτερη...

ΛΗΜΜΑΤΑ

Α) Είναι $\displaystyle{\displaystyle a^2 + a\beta + \beta ^2 \geqslant 0,\forall a,\beta \in \mathbb{R} }$ αρα και για τα δικά μας α,β γιατί αν λάβουμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου με μεταβλητη το α, έχουμε:
$\displaystyle{\displaystyle \Delta = \beta ^2 - 4\beta ^2 = - 3\beta ^2 \leqslant 0 }$ , για κάθε β που μας ενδιαφέρει.

Β) Είναι: $\displaystyle{\displaystyle a^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 + a\beta + a\gamma + \beta \gamma = \frac{{2a^2 + 2\beta ^2 + 2\gamma ^2 + 2a\gamma + 2\beta \gamma + 2a\gamma }} {2} = \frac{{\left( {a + \beta } \right)^2 + \left( {a + \gamma } \right)^2 + \left( {\beta + \gamma } \right)^2 }} {2} \geqslant 0 }$ ,

πάντα για τα α, β , γ που μας ενδιαφέρουν!

Γ) Είναι : $\displaystyle{\displaystyle a^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 - a\beta - a\gamma - \beta \gamma = \frac{{2a^2 + 2\beta ^2 + 2\gamma ^2 - 2a\gamma - 2\beta \gamma - 2a\gamma }} {2} = \frac{{\left( {a - \beta } \right)^2 + \left( {a - \gamma } \right)^2 + \left( {\beta - \gamma } \right)^2 }} {2} \geqslant 0 }$

(Ομοίως με το Β) )

Θα παραθέσω μια λύση που συνελήφθη στην αναμονή μου στο σαλόνι του οδοντογιατρού!
Πάμε για την πρώτη ανισότητα.

1) Έχουμε:
$\displaystyle{\displaystyle |a + \beta + \frac{{\rho - a\beta }} {{a + \beta }}| = |\frac{{\left( {a + \beta } \right)^2 + \rho - a\beta }} {{a + \beta }}| = \frac{{|a^2 + a\beta + \beta ^2 + \rho |}} {{|a + \beta |}}\mathop = \limits_{\rho > 0}^{\left( {\rm A} \right)} \frac{{a^2 + a\beta + \beta ^2 + \rho }} {{|a + \beta |}} }$ , αρα η ανισότητα γίνεται:
$\displaystyle{\displaystyle \frac{{a^2 + a\beta + \beta ^2 + \rho }} {{|a + \beta |}} \geqslant \sqrt {3\rho } \Rightarrow a^2 + a\beta + \beta ^2 + \rho \geqslant |a + \beta |\sqrt 3 \sqrt \rho }$ , η οποία θέτοντας $\displaystyle{\displaystyle \sqrt \rho = u \Rightarrow \rho = u^2 }$ , μπορεί να γίνει:
$\displaystyle{\displaystyle a^2 + a\beta + \beta ^2 + u^2 \geqslant |a + \beta |\sqrt 3 u \Rightarrow u^2 - \sqrt 3 |a + \beta |u + a^2 + a\beta + \beta ^2 \geqslant 0 }$ , ανισότητα η οποία αληθεύει για κάθε α, β απο τα δικά μας , γιατί :
$\displaystyle{\displaystyle \Delta = \left( { - \sqrt 3 |a + \beta |} \right)^2 - 4\left( {a^2 + a\beta + \beta ^2 } \right) = ... = - a^2 - \beta ^2 + 2a\beta = - \left( {a - \beta } \right)^2 \leqslant 0 }$ .

Πάμε για τη δεύτερη...

2)Έχουμε:

$\displaystyle{\displaystyle |a + \beta + \gamma + \frac{{\rho - a\beta - \beta \gamma - \gamma a}} {{a + \beta + \gamma }}| \geqslant \sqrt {\frac{{8\rho }} {3}} \Rightarrow |\frac{{\left( {a + \beta + \gamma } \right)^2 + \rho - a\beta - \beta \gamma - \gamma \alpha }} {{a + \beta + \gamma }}| \geqslant \sqrt {\frac{{8\rho }} {3}} \Rightarrow |a^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 + a\beta + \beta \gamma + \gamma a + \rho | \geqslant \sqrt {\frac{8} {3}} |a + \beta + \gamma |\sqrt \rho }$ .
Όμως λόγω του λήμματος και επειδή ρ>0 έχουμε:
$\displaystyle{\displaystyle a^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 + a\beta + \beta \gamma + \gamma a + \rho \geqslant \sqrt {\frac{8} {3}} |a + \beta + \gamma |\sqrt \rho }$

Θέτοντας : $\displaystyle{\displaystyle \sqrt \rho = u \Rightarrow \rho = u^2 }$ , η ανισότητα γίνεται:
$\displaystyle{\displaystyle a^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 + a\beta + \beta \gamma + \gamma a + u^2 \geqslant \sqrt {\frac{8} {3}} |a + \beta + \gamma |u \Rightarrow u^2 - \sqrt {\frac{8} {3}} |a + \beta + \gamma |u + a^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 + a\beta + a\gamma + \beta \gamma \geqslant 0 }$ ,

η οποία όμως ισχύει αν λάβουμε υπ'όψη μας πως:
$\displaystyle{\displaystyle \Delta = ( - \sqrt {\frac{8} {3}} |a + \beta + \gamma |)^2 - 4(a^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 + a\beta + a\gamma + \beta \gamma ) = ...\mathop = \limits^{\left( \Gamma \right)} - \frac{2} {3}\left[ {\left( {a - \beta } \right)^2 + \left( {\beta - \gamma } \right)^2 + \left( {a - \gamma } \right)^2 } \right] \leqslant 0 }$

Ουφ, πολύ γράψιμο, αλλά βοήθησε στο να περάσει σιγά-σιγά η επήρεια τη ενεσης...

ΗΘΙΚΟ ΔΙΔΑΓΜΑ
Αν είναι να επισκεφτείτε τον οδοντογιατρό σας πάρτε και κανένα βιβλίο ή καμία άσκηση μαζί σας! Θα περάσετε πιο ευχάριστα την αναμονή σας!

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

chris_gatos έγραψε: Νομίζω , πως πρόκειται για ανισότητες και οχι ανισώσεις ( κι εγω έκανα το ίδιο λάθος, αλλά έμαθα! Ας είναι καλά ο Κύριος Αντώνης...).

Ουφ, πολύ γράψιμο, αλλά βοήθησε στο να περάσει σιγά-σιγά η επήρεια τη ενεσης...

ΗΘΙΚΟ ΔΙΔΑΓΜΑ
Αν είναι να επισκεφτείτε τον οδοντογιατρό σας πάρτε και κανένα βιβλίο ή καμία άσκηση μαζί σας! Θα περάσετε πιο ευχάριστα την αναμονή σας!

Χρήστο έκανα τη διόρθωση, για την οποία είχες δίκιο.
Τα λάθη που διορθώνουμε στους μαθητές μας, δυστυχώς τα κάνουμε και εμείς.

Για την άσκηση τώρα.
Ενδιαφέρον είναι να βρούμε την αντίστοιχη ανισότητα για 4 αριθμούς δηλαδή
$\displaystyle{\displaystyle \left| {\alpha + \beta + \gamma + \delta + \frac{{\rho - \alpha \beta - \alpha \gamma - \alpha \delta - \beta \gamma - \beta \delta - \gamma \delta }}{{\alpha + \beta + \gamma + \delta }}} \right| \ge ;;;;;;;}$

ή και να γίνει μια γενίκευση, για τα οποία δεν γνωρίζω τίποτα.
Χρήστο περαστικά στο δόντι σου, αν και νομίζω ότι φταίει η Όλγα για τον πονόδοντο.
Θωμάς

mathxl · #4

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:
Χρήστο περαστικά στο δόντι σου, αν και νομίζω ότι φταίει η Όλγα για τον πονόδοντο.
Θωμάς

καλό!!!

#5

Ευχαριστώ! Πρόκειται για γενικό ρεκτιφιέ δοντιών και πονάει!!!!!
Για το άλλο έχεις δίκιο Θωμά !!

2 ανισότητες

2 ανισότητες

Re: 2 ανισώσεις

Re: 2 ανισώσεις

Re: 2 ανισότητες

Re: 2 ανισότητες

Μέλη σε σύνδεση