Βαζω τα θεματα του διαγωνισμου:
1η Μερα:
1) Εστω συναρτησεις f,g με f(r) =< g(r) για καθε ρητο r, ισχυει f(x) =< g(x) για καθε x στο R οταν:
α) Οι συναρτησεις f,g ειναι αυξουσες?
β) Οι συναρτησεις f,g ειναι συνεχεις?
2) Εστω πινακες Α,Β,Γ με Α αντιστρεψημο, αν (Α - Β)Γ = ΒΑ^(-1), νδο Γ(Α - Β) = Α^(-1)Β.
3) Σε μια πολη, καθε 2 κατοικοι οι οποιοι δεν ειναι φιλοι μεταξυ τους, εχουν ενα κοινο φιλο. Ακομα κανενας κατοικος δεν ειναι φιλος με ολους τους υπολοιπους. Εστω οτι οι κατοικοι ειναι ν, με α_ι συμβολιζουμε το πληθος των φιλων του ι κατοικου. Εστω οτι ισχυει (α_1)^2 + (α_2)^2 + ... + (α_ν)^2 = ν(ν-1). Εστω κ ειναι ο ελαχιστος αριθμος κατοικων (τουλαχιστον 3) οι οποιοι μπορουν να καθισουν σε ενα κυκλικο τραπεζι με τετοιο τροπο ωστε αναμεσα σε καθε δυο διπλανους κατοικους να υπαρχει φιλια. Βρειτε ολες τις δυνατες τιμες του κ.
4) Εστω Π(ζ) = α_νζ^ν + ... + α_0 ενα μιγαδικο πολυωνυμο. Εστω 1=β_0 >= β_1 >= ... >= β_ν μια κυρτη ακολουθια (2β_κ =< β_(κ+1) + β_(κ-1) για καθε 1 =< κ =< ν-1). Εστω το πολυωνυμο Κ(ζ) = α_νβ_νζ^ν + ... + α_0β_0. Να δειχθει οτι η ελαχιστη τιμη του |Κ| στον κυκλικο δισκο ακτινας 1 δεν ξεπερναει την ελαχιστη τιμη του |Π| στο ιδιο χωριο.
5) Εστω ν θετικος ακεραιος. Ενα ν-simplex (δεν ξερω πως μεταφραζεται) στον R^n δινεται με ν+1 σημεια: Π0, Π1, ... Πν που καλουνται κορυφες του και δεν ανοικουν στο ιδιο υπερεπιπεδο. Για καθε τετοιο ν-simplex Μ οριζουμε με υ(Μ) τον ογκο του και με Κ(Μ) το κεντρο της μοναδικης σφαιρας που περιεχει ολες τις κορυφες του. Εστω Π ενα σημειο στο εσωτερικο ενος ν-simplex. Εστω Μ_ι το ν-simplex που προκειπτει αλλαζοντας την κορυφη Πι του Μ με το σημειο Π. Δειξτε οτι:
υ(Μ_0)Κ(Μ_0) + ... + υ(Μ_ν)Κ(Μ_ν) = υ(Μ)Κ(Μ)
2η Μερα:
1) Δινεται σημειο Κ και ευθεια ε στο χωρο, εστω δ η καθετη αποσταση του Κ απο την ε. Εστω Μ το συνολο των σημειων στο χωρο για τα οποια ισχυει: η καθετη αποσταση τους απο την ε ειναι μεγαλυτερη η ιση απο το διπλασιο της αποστασης τους απο το Κ. Να υπολογιστει ο ογκος του Μ συναρτησει του δ.
2) Δινεται συναρτηση f απο το R στο R, δυο φορες παραγωγισημη, με f''(x) - 5f'(x) + 6f(x) >= 0 για καθε x μη αρνητικο, και f(0)=1, f'(0)=0. Νδο f(x) >= 3e^(2x) - 2e^(3x) για καθε x μη αρνητικο.
3) Εστω μιγαδικοι πινακες Α,Β με Α^2Β + ΒΑ^2 = 2ΑΒΑ. Νδο υπαρχει θετικος ακεραιος ν, τετοιος ωστε: (ΑΒ - ΒΑ)^ν = 0.
4) Εστω p πρωτος θετικος ακεραιος μεγαλυτερος του 2. Εστω Φ το σωμα των υπολοιπων με τον p. Εστω ακομα Κ το μικροτερο συνολο πολυωνυμων με συντελεστες στο Φ για το οποιο ισχυουν:
α) Τα πολυωνυμα x+1, x^(p-2) + x^(p-3) + .. + x^2 + 2x + 1 ανηκουν στο συνολο αυτο
β) Για καθε δυο πολυωνυμα στο Κ, f,g, το υπολοιπο της διαιρεσης του f(g(x)) με το πολυωνυμο x^p - x ανηκει και αυτο στο Κ
Ποσα πολυωνυμα περιεχει το Κ?
5) Εστω Μ ο διανυσματικος χωρος των μxν πινακων. Για εναν υποχωρο αυτου Ν, θεωρουμε δ(Ν) τη διασταση του χωρου που παραγεται απο τις στιλες των πινακων του Ν. Θα λεμε οτι ενας υποχωρος Ν του Μ καλυπτει το χωρο των πινακων οταν η ενωση των πυρινων ολων των πινακων (εκτος του μηδενικου) του Ν ειναι ο χωρος R^μ.
Ο Χωρος Ν που καλυπτει τον χωρο των πινακων θα λεγεται ελαχιστος οταν δεν περιεχει γνησιο υποχωρο ο οποιος να καλυπτει τον χωρο των πινακων.
α) Εστω Τ ο ελαχιστος δ.χ που καλυπτει τον χωρο των πινακων και εστω k η διασταση του, νδο δ(Τ) =<
β) Δειξτε οτι για καθε θετικο ακεραιο κ, μπορουμε να βρουμε θετικους ακεραιους ν,μ και εναν ελαχιστο χωρο Τ που καλυπτει τον χωρο των νxμ πινακων, ωστε δ(Τ) =
και dimT = k.
αυξουσα στο διαστημα μας αρα μεγαλυτερη ιση απο 
,
αυξουσα στο διαστημα μας αρα μεγαλυτερη ιση απο 
,
, το ζητουμενο.
να δείξετε ότι:
όπου Ι ο μοναδιαίος
αφού ο Α είναι αντιστρέψιμος
