SEEMOUS 2011/1

#1

Δίνονται ακέραιος $n \geqslant 1$ και μη φθίνουσα συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ . Να αποδειχθεί ότι
$\displaystyle{ \int_0^1 f(x) \; dx \leqslant (n+1) \int_0^1 x^n f(x) \; dx. }$
Να βρεθούν όλες οι μη φθίνουσες συνεχείς συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

Nick1990 · #2

Μια γρήγορη αντιμετώπιση:

Ο μετασχηματισμός $u^{n+1} = x$ στο δεξί ολοκλήρωμα θα δώσει:
$LHS = \int_{0}^{1}{(n+1)u^nf(u^{n+1})du} \leq RHS = \int_{0}^{1}{(n+1)u^nf(u)du}$
διότι: $u^{n+1} \leq u, u \in [0, 1]$ όπου εφαρμόζοντας την

και πολλαπλασιάζοντας με (n+1)u^n

και ολοκληρώνοντας μετά στο [0,1]

προκείπτει η ζητούμενη.

Δείχνουμε τώρα ότι ισότητα ικανοποιούν μόνο οι σταθερές συναρτήσεις στο [0,1]

.
Πράγματι, αν η ισότητα ισχύει, τότε $\int_{0}^{1}{(n+1)u^n(f(u) - f(u^{n+1}))du} = 0$ ,
με το μέσα να μην αλλάζει πρόσημο και να είναι συνεχές, επομένος πρέπει για κάθε $x \in [0,1]$
να έχουμε $f(x) = f(x^{n+1})$ . Επειδή είναι συνεχής, αρκεί να δείξω ότι είναι σταθερή στο (0,1).
Έστω ότι είναι μη σταθερή στο (0,1)

, τότε υπάρχει ένα $k \in (0,1)$ , ώστε το $S_k = \{1 > x \geq k | f(x) > f(k)\}$
να είναι μη κενό, ορίζω $s_k = inf{S_k}$ , τότε στο [k, s_k)

θα έχω

,
και επομένως για τυχαίο e > 0

θα βρώ στο [s_k - e, s_k]

,

με

ενώ στο

θα έχω στοιχείο του S_k

, έστω

, οπότε

, άρα μπορώ να βρώ
t < s, |t - s| < 2e, f(t) < f(s)

, αυτό είναι άτοπο διότι σε μια περιοχή του s_k

η $x^{n+1} - x$ είναι
κάτω φραγμένη από κάτι μη μηδενικό, και μπορούμε να πάρουμε

με $x^{n+1} < s_k, x > s_k$ και στη συνέχεια
να πάρουμε

ώστε $x^n < t < s_k < s < x \Rightarrow f(x^n) \leq f(t) < f(s) \leq f(x) \Rightarrow f(x^n) < f(x)$ το οποίο όμως δεν μπορεί να ισχύει. Άρα η

είναι σταθερή και βλέπουμε ότι όλες οι σταθερές συναρτήσεις ικανοποιούν.

Mikesar · #3

Καλησπέρα. Συγγνώμη που αναβιώνω το θέμα, αλλά θέλω πιο πολύ όχι να παραθέσω την λύση μου αλλά να ρωτήσω κάποιες απορίες που μου γεννήθηκαν μέσω αυτής. Θα είμαι πραγματικά ευγνώμων σε όποιον κάτσει να διαβάσει τα παρακάτω και μου απαντήσει.

Η x^n

είναι επίσης μη φθίνουσα άρα εφαρμόζοντας την ανισότητα Chebyshev έχω
$\displaystyle \int_0^1 x^nf(x) dx \geq \int_0^1 x^n dx \int_0^1 f(x) dx$
και το ζητούμενο έπεται.
Εδώ είναι και η πρώτη μου απορία. Γνωρίζουμε πότε ισχύει η ισότητα στην ανισότητα Chebyshev με ολοκληρώματα; Υποπτεύομαι ότι θα είναι μόνο όταν η μία συνάρτηση είναι σταθερή (όπως στη διακριτή περίπτωση όταν είναι μια n-αδα μεταβλητών ίσες) αλλά όσο κι αν έψαξα δεν βρήκα κάτι οπότε δεν μπορώ να είμαι σίγουρος. Επίσης, μπορούμε να χρησιμοποιούμε ελεύθερα την ανισότητα Chebyshev σε διαγωνισμούς;
Ας δείξω τώρα την ισότητα.
Για να ισχύει η ισότητα πρέπει:
$\displaystyle \int_0^1 ((n+1)x^n-1)f(x)dx=0 \ (1)$
$\Rightarrow \displaystyle \int_0^{(n+1)^{-\frac{1}{n}}}((n+1)x^n-1)f(x)dx+\int_{(n+1)^{-\frac{1}{n}}}^1((n+1)x^n-1)f(x)dx=0$
Σε αυτά τα δύο ολοκληρώματα ικανοποιούνται οι συνθήκες του πρώτου Θ.Μ.Τ.Ο.Λ. (η

διατηρεί πρόσημο) άρα υπάρχουν $\displaystyle \xi_1\in (0,(n+1)^{-\frac{1}{n}}),\xi_2\in ((n+1)^{-\frac{1}{n}},1)$ ώστε να ισχύει η γνωστή ισότητα με τα ολοκληρώματα. Αντικαθιστώντας, έχω
$\displaystyle f(\xi_1) \int_0^{(n+1)^{-\frac{1}{n}}}(n+1)x^n-1dx+f(\xi_2) \int_{(n+1)^{-\frac{1}{n}}}^1(n+1)x^n-1dx=0\Rightarrow$
$\displaystyle\Rightarrow (f(\xi_1)-f(\xi_2))((n+1)^{-\frac{n+1}{n}}-(n+1)^{-\frac{1}{n}})=0\Rightarrow f(\xi_1)=f(\xi_2)$
Λόγω του ότι η f είναι μη φθίνουσα έπεται ότι είναι σταθερή στο $\displaystyle [\xi_1,\xi_2]$ . Και τώρα ένα λεπτό σημείο που δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό.
Θεωρώ το μέγιστο διάστημα $(\xi_{1_0},\xi_{2_0})$ που περιέχει το $t=(n+1)^{-\frac{1}{n}}$ και η

είναι σταθερή σε αυτό. Με την έννοια του μεγίστου εννοώ το εξής:
$\xi_{1_0}=inf\{a: f(x)=const \ \forall \ x\in(a,t)\}$
$\xi_{2_0}=sup\{b: f(x)=const \ \forall \ x\in(t,b)\}$
τα οποία είναι καλώς ορισμένα αφού τα σύνολα είναι μη κενά γιατί το $\xi_1$ ανήκει στο 1ο και το $\xi_2$ στο 2ο.
Τότε η

είναι σταθερή στα $(\xi_{1_0},t), (t,\xi_{2_0})$ . Λόγω συνέχειας θα είναι σταθερή και στο $(\xi_{1_0},\xi_{2_0})$ και πάλι λόγω συνέχειας θα είναι σταθερή στο $[\xi_{1_0},\xi_{2_0}]$ και ίση με

. Στόχος μου είναι να δείξω ότι $\xi_{1_0}=0$ και $\xi_{2_0}=1$ .
Έστω ότι τουλάχιστον μία από τις δύο ισότητες δεν ισχύει και ΧΒΓ υποθέτω ότι αυτή είναι η 2η, δηλαδή $\xi_{2_0}<1$ . Τότε, πηγαίνοντας στην (1), σπάζοντας τα ολοκληρώματα και εφαρμόζοντας πάλι Θ.Μ.Τ.Ο.Λ έχω
$\displaystyle f(\xi_{1_1}) \int_0^{\xi_{1_0}}(n+1)x^n-1dx+c\int_{\xi_{1_0}}^{\xi_{2_0}}(n+1)x^n-1dx+$
$\displaystyle +f(\xi_{2_1}) \int_{\xi_{2_0}}^1(n+1)x^n-1dx=0$
(όπου $\displaystyle 0\leq \xi_{1_1}\leq \xi_{1_0}$ πιθανώς και ίσο με 0 και $\displaystyle \xi_{2_0}<\xi_{2_1}<1$ )
Κάνοντας τις πράξεις στην τελευταία προκύπτει ότι $\displaystyle (\xi_{1_0}^{n+1}-\xi_{1_0})(f(\xi_{1_1})-c)-(\xi_{2_0}^{n+1}-\xi_{2_0})(f(\xi_{2_1})-c)=0$
Επειδή $\displaystyle \xi_{1_0}<1$ η πρώτη παρένθεση είναι μη θετική. Λόγω μονοτονίας το ίδιο ισχύει και για τη δεύτερη. Άρα το πρώτο γινόμενο είναι μη αρνητικό.
Η 3η παρένθεση είναι μη θετική όπως και η 1η, ενώ λόγω μονοτονίας η δεύτερη είναι μη αρνητική. Με το

μπροστά το 2ο γινόμενο γίνεται μη αρνητικό. Άρα για να κάνει

πρέπει και τα δύο να είναι

, δηλαδή $\displaystyle f(\xi_{2_1})=c$ το οποίο είναι άτοπο γιατί το $\displaystyle \xi_{2_0}$ είναι supremum.
Άρα το διάστημα στο οποίο η

είναι σταθερή είναι το [0,1]

και εύκολα βλέπω ότι όλες οι σταθερές συναρτήσεις ικανοποιούν.
Είναι εμφανές νομίζω ότι αν ξέρουμε πότε ισχύει η ισότητα στην Chebyshev γλυτώνουμε πολύ κόπο.
Ζητώ την επιείκειά σας για τυχόν λάθη, είμαι ακόμα αρχάριος στα πανεπιστημιακά μαθηματικά.

#4

Μιχάλη καλησπέρα! Από τη στιγμή που καταλαβαίνουμε ότι είναι ειδική περίπτωση της Chebychev, γιατί να μην περάσουμε μέσα από την απόδειξή της για να δούμε και την ισότητα; Τι κάνουμε λοιπόν;
Ισχύει $(x^n-y^n)(f(x)-f(y))\geq 0.$ (*) Ολοκληρώνοντας την ανισότητα αυτή έχουμε:
$\int_{0}^1\int_{0}^1(x^n-y^n)(f(x)-f(y)) dxdy\geq 0.$ Κάνοντας πράξεις καταλήγουμε στη ζητούμενη.
Για την ισότητα, πρέπει να ισχύει η ισότητα στην (*) λόγω της συνέχειας της

επομένως

σταθερή.

SEEMOUS 2011/1

SEEMOUS 2011/1

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011/1

Re: SEEMOUS 2011/1

Μέλη σε σύνδεση