Τομή ελάχιστου μήκους

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC

με

. Να βρεθεί η θέση

των σημείων

(επί της

) και

(επί της

) ώστε το

να έχει το ελάχιστο μήκος

και να ισχύει : (CDE)=(ADEB)

.

parmenides51 · #2

εδώ και η γενίκευση (σε τυχαίο τρίγωνο) εδώ

edit:
Υ.Γ. Αν θεωρείτε ότι καίω τις ασκήσεις με τις παραπομπές μου, να μην κάνω αμέσως παραπομπές.

pito · #3

Καλημέρα Γιώργο απαντώ με επιφύλαξη:

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

είναι και ισοσκελές και άρα η γωνία

είναι $45^{o}$ .

Θέλουμε και $(CDE)=(ADEB)\Rightarrow (CDE)=(ABC)-(CDE)\Rightarrow (CDE)=\frac{1}{2}-(CDE)\Rightarrow (CDE)$

$=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2}xysin45^{o}=\frac{1}{4}\Rightarrow xy=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{2}}{2x} (1)$

Ακόμη από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο CDE

είναι
$z^{2}=x^{2}+y^{2}-2xycos45^{o}\Rightarrow z^{2}=x^{2}+y^{2}-1=x^{2}+\frac{1}{2x^{2}}-1$
Για να γίνει ελάχιστο το

αρκεί να γίνει ελάχιστο το $z^{2}$ .

Έστω λοιπόν η συνάρτηση $f(x)=x^{2}+\frac{1}{2x^{2}}-1\Rightarrow f'(x)=\frac{2x^{4}-1}{x^{3}}$

και από μελέτη μονοτονίας η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,\frac{1}{\sqrt[4]{2}}]$ , γνησίως αύξουσα στο
$[\frac{1}{\sqrt[4]{2}},1)$ και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για $x\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

τότε και λόγω της (1) προκύπτει ότι , $y=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

#4

Μια λύση που βρήκα:

Προφανώς, το ορθογώνιο τρίγωνο έχει εμβαδό ίσο με $\displaystyle{\frac{1}{2}.}$

Η συνθήκη με τα εμβαδά είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{(DCE)=\frac{1}{4},}$ δηλαδή με την $\displaystyle{\frac{1}{2}xy\sin 45^0=\frac{1}{4},}$

η οποία γράφεται ως $\displaystyle{xy=\frac{1}{\sqrt{2}}.}$ (1)

Επίσης, από τον τύπο του Ήρωνα έχουμε

$\displaystyle{16(DCE)^2=2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-(x^4+y^4+z^4).}$ (2)

Λόγω της (1) είναι $\displaystyle{x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-1}$ , οπότε η (2) γράφεται τελικά ως

$\displaystyle{(x^2+y^2-z^2)^2=1.}$

Από αυτή προκύπτει $\displaystyle{x^2+y^2-z^2=1,}$ δηλαδή $\displaystyle{z^2=x^2+y^2-1.}$

Τότε, από την ανισότητα AM-ΓΜ έχουμε $\displaystyle{z^2\geq 2xy-1=\sqrt{2}-1 \Rightarrow z\geq \sqrt{\sqrt{2}-1}}$

και η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{x=y=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}.}$

Τομή ελάχιστου μήκους

Τομή ελάχιστου μήκους

Re: Τομή ελάχιστου μήκους

Re: Τομή ελάχιστου μήκους

Re: Τομή ελάχιστου μήκους

Μέλη σε σύνδεση