mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 21, 2012 9:04 am**

Ισχύουν ίδιοι κανόνες με εδώ.
Καλό θα ήταν να τις λύσουν μαθητές (σας) και να γράψετε τις λύσεις τους εδώ.

Ξεκινάω με μερικές κατηγορίες ασκήσεων, πριν πάμε σε αυτές με τα πολλά ερωτήματα

ΑΣΚΗΣΗ 41

Να υπολογίσετε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο των συναρτήσεων:

$\displaystyle{f(x)=\frac{x}{3}-\frac{3}{x}+x^2e^x\eta \mu x-x^3lnx-2012}$

$\displaystyle{g(x)=\left(4x^2+3x-2\right)\left(2x^2-5x+2\right)-e^4}}$

$\displaystyle{h(x)=\frac{x^2+3x}{5x^2-20}-xln5}$

$\displaystyle{k(x)=\frac{x^2-3x}{e^x}-\sqrt{3}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 21, 2012 10:48 am**

ΑΣΚΗΣΗ 42

Να εξετάσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

α. $\displaystyle{f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{5{x^2}}}{2} + 6x - \sqrt 2 }$

β. $\displaystyle{g(x) = {x^2}{e^x} - \ln 3}$

γ. $\displaystyle{h(x) = \frac{{\ln x}}{x}}$

δ. $\displaystyle{s(x) = {e^x} - x}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 21, 2012 11:07 am**

ΑΣΚΗΣΗ 43

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = 2{x^3} - 3{x^2} - 12x + 3,x \in R}$

α. Να βρεθούν $\displaystyle{{f'}}$ και $\displaystyle{{f''}}$

β. Να βρεθούν τα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f'(x)}}{{\sqrt {x + 2} - 2}}}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}}$

γ. Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της $\displaystyle{f}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 21, 2012 11:19 am**

ΑΣΚΗΣΗ 44

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = - 2{x^3} + \alpha {x^2} + 12x + 1,\alpha \in R,x \in R}$

α. Αν $\displaystyle{f'( - 2) = f'(1)}$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{\alpha = - 3}$

Για $\displaystyle{\alpha = - 3}$

β. Nα μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς την μονοτονία και τοπικά ακρότατα.

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{f'(x)}}{6},\;\;\;\;x \ge 1\\ \ \\ \displaystyle\kappa x + \lambda \;\;,x < 1 \end{array} \right.}$

γ. Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{\kappa ,\lambda \in R}$ για τις οποίες η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ είναι παραγωγίσιμη στη θέση $\displaystyle{{x_0} = 1}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 22, 2012 10:10 am**

ΑΣΚΗΣΗ 45

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \alpha \ln x - {x^2}}$ με $\displaystyle{f'(4) = - 6}$

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

β. Να υπολογίσετε την τιμή του $\displaystyle{\alpha \in R}$

γ. Για $\displaystyle{\alpha = 8}$ , να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

δ. Για $\displaystyle{\alpha = 8}$ , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{A = f(1) + f(e)}$

ΑΣΚΗΣΗ 46

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = {x^3} - \alpha {x^2} + 3\beta x + 2,x \in R}$

α. Να βρεθούν οι τιμές των $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ ,αν η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ διέρχεται απο το σημείο $\displaystyle{M(1,1)}$ και παρουσιάζει ακρότατο στη θέση $\displaystyle{x = 3}$

β. Για $\displaystyle{\alpha = 5}$ και $\displaystyle{\beta = 1}$ , να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

γ. Για $\displaystyle{\alpha = 5}$ και $\displaystyle{\beta = 1}$ ,να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{B = f(0) + 2f(2) - f(3)}$

δ. Για $\displaystyle{\alpha = 5}$ και $\displaystyle{\beta = 1}$ , να υπολογίσετε τo όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - 1}}{{\sqrt x - 1}}}$

ΑΣΚΗΣΗ 47

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \alpha {e^x} - \beta x + 5,x \in R}$ και $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ .Αν η γραφική παράσταση διέρχεται της $\displaystyle{f}$ διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{A(0,7)}$ και $\displaystyle{f'(0) = 1}$

α. Nα βρείτε τους $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$

β. Για $\displaystyle{\alpha = 2}$ και $\displaystyle{\beta = 1}$ , να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ ισχύει $\displaystyle{f''(x) - f'(x) = 1}$

γ. Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

δ. Να προσδιορίσετε τις τιμές του $\displaystyle{\kappa \in R}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{{\kappa ^2}f''(x) - 3\kappa f'(x) + 2f''(x) = 3\kappa }$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 22, 2012 5:08 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 48

Να υπολογίσετε την παράγωγο των συναρτήσεων:

$\displaystyle{f(x)=\ln (x^2-x+1)-\log 2012}$ με $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$

$\displaystyle{g(x)=\eta \mu ^3x-\ln x^4}$ με $\displaystyle{x> 0}$

$\displaystyle{h(x)=\sqrt {2{e^x} + 3x} }$ με $\displaystyle{x\geq 0}$

$\displaystyle{k(x)={x^2}{e^{ - x}}-e^{3x^2-5x+1}}$ με $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$

$\displaystyle{l(x)=(2e^x+1)^{1006}-5^e}$ με $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$

$\displaystyle{m(x)={e^{\sqrt x }}\sigma \upsilon \nu 3x +\sqrt[3]{2}}$ με $\displaystyle{x>0}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 22, 2012 8:55 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 49

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \alpha \eta {\mu ^2}x + \beta \sigma \upsilon {\nu ^2}x,x \in (0,\frac{\pi }{2})}$ και $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ .
Αν η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ διερχεται από το σημείο $\displaystyle{A(\frac{\pi }{6}, - \frac{1}{2})}$ και $\displaystyle{f'(\frac{\pi }{6}) = \sqrt 3 }$ , τότε:

α. Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$

β. Για $\displaystyle{\alpha = 1}$ και $\displaystyle{\beta = - 1}$ , να δείξετε οτι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(0,\frac{\pi }{2})}$

γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{A = f'(\frac{\pi }{4}) + f(\frac{\pi }{4}) - f'(\frac{\pi }{3})}$

ΑΣΚΗΣΗ 50

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \ln (\frac{{\ln x}}{x})}$

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

β. Να μελετήθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

γ. Αν $\displaystyle{\alpha > \beta > e}$ να δείξετε οτι $\displaystyle{{\alpha ^\beta } < {\beta ^\alpha }}$

δ. Να συγκρίνετε τους αριθμούς $\displaystyle{{2^{\sqrt 3 }}}$ και $\displaystyle{3}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 22, 2012 9:01 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 51

Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + {e^3}}$ όταν:
i. $\displaystyle{x\in\matbb{R}}$
ii. $\displaystyle{x\in\matbb{R}^*}$
iii. $\displaystyle{x\geq 0}$
iv. $\displaystyle{x\geq 2}$
v. $\displaystyle{x< 6}$
vi. $\displaystyle{-1\leq x\leq 6 }$
vii. $\displaystyle{-4< x< 5 }$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 22, 2012 9:23 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 52

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ με παράγωγο $\displaystyle{f'\left( x \right) = - {e^{\eta \mu x}}}$ .
i. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right)}$
ii. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{f\left( {2x + 3} \right) < f\left( {3x + 2} \right)}$
iii. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f\left( {{x^2} + 2x} \right) \le f\left( {3x - 1} \right)}$
iv. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f''\left( x \right) - \sigma \upsilon \nu xf'\left( x \right) = 0}$

ΑΣΚΗΣΗ 53

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}}$
i. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right)}$
ii. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{{\ln 3}}{3} \le f\left( x \right) \le \frac{1}{e}}$ όταν $\displaystyle{x \in \left[ {e,3} \right]}$
iii. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{x^2}f'\left( x \right) + xf\left( x \right) = 1}$ όταν $\displaystyle{x>0}$

ΑΣΚΗΣΗ 54

Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right) = {e^x} + 3x$
i. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση
ii. Να συγκρίνετε τις τιμές $\displaystyle{f\left( { - 5} \right)}$ και $\displaystyle{f\left( { 2} \right)}$
iii. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{{e^{{x^2}}} + 3{x^2} < {e^x} + 3x}$
iv. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{e^{3000}} + 9000 < {e^{4000}} + 12000}$
v. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{{e^x} + 3x \le e + 3}$

ΑΣΚΗΣΗ 55

Η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = x\ln x - \alpha x}$ με $\displaystyle{\alpha \in R}$ παρουσιάζει ακρότατο για $\displaystyle{x=1}$ .
i. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha =1}$
ii. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right)}$
iii. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x\ln x - x\, \ge - 1}$ όταν $\displaystyle{x>0}$
iv. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{2010\ln 2010 - 2010 < 2011\ln 2011 - 2011}$

ΑΣΚΗΣΗ 56

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3}\color{red}{-}}}$ $\displaystyle{ \frac{{{x^2}}}{2} + 2011}$ .
i. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση $f\left( x \right)$
ii. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f\left( x \right) \le 2011}$ όταν $\displaystyle{x \in \left( { - \infty ,1} \right]}$
iii. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f\left( {2008} \right) < f\left( {2009} \right)}$
iv. Να συγκρίνετε τις τιμές $\displaystyle{f\left( { - e} \right)}$ και $\displaystyle{f\left( { - \pi } \right)}}$

edit: Αλλαγή ενός πρόσημου στην εκφώνηση της άσκησης 56, ευχαριστώ τον orestisgotsis για την επισήμανση.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 23, 2012 2:00 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 57

Δίνεται ορθή γωνία $\displaystyle{\widehat {xOy}}$ και το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AB}$ μήκους $\displaystyle{10\mu }$ . Τα άκρα του οποίου $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές $\displaystyle{Oy}$ και $\displaystyle{Ox}$ αντίστοιχα.
Το σημείο $\displaystyle{B}$ κινείται με ταχύτητα $\displaystyle{u = 2m/s}$ και η θέση του πάνω στον άξονα $\displaystyle{Ox}$ δίνεται από την συνάρτηση $\displaystyle{s(t) = ut,t \in [0,5]}$ , όπου $\displaystyle{t}$ ο χρόνος σε $\displaystyle{\sec }$

α. Να βρεθεί το εμβαδόν $\displaystyle{E(t)}$ του τριγώνου $\displaystyle{OAB}$ ως συνάρτηση του $\displaystyle{t}$

β.Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του $\displaystyle{E(t)}$ , τη χρονική στιγμή που το μήκος του $\displaystyle{OA}$ είναι $\displaystyle{6m}$

ΑΣΚΗΣΗ 58

Α. Να αποδείξετε οτι από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο $\displaystyle{50m}$ , το μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τετράγωνο.

Β. Να αποδείξετε οτι από όλα τα ορθογώνια με εμβαδόν $\displaystyle{400{m^2}}$ , τη μικρότερη περίμετρο έχει το τετράγωνο.

Γ. Αν ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα $\displaystyle{10cm}$ , να υπολογίσετε τις κάθετες πλευρές του ώστε να έχει το μέγιστο εμβαδόν.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 24, 2012 12:51 am**

ΑΣΚΗΣΗ 59

Η θερμοκρασία μιας περιοχής σε βαθμούς κελσίου, ως συνάρτηση του χρόνου $\displaystyle{t}$ σε ώρες δίνεται από την σχέση $\displaystyle{\theta (t) = - {t^3} + 9{t^2} - 10t + c,0 \le t \le 8}$

α. Να προσδιορίσετε την τιμή της σταθεράς $\displaystyle{c}$ , αν γνωρίζετε οτι την χρονική στιγμή $\displaystyle{t = 0}$ η θερμοκρασία ήταν $\displaystyle{16{C^0}}$

β. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας στο τέλος της τέταρτης ώρας

γ. Να βρείτε την ώρα με το μέγιστο ρυθμό μεταβολής.

ΑΣΚΗΣΗ 60

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + \beta \;\;\;\;\; ,x \le 2\\ \ \\ 2\alpha {x^3} + 11\alpha \;\;\;\;,x > 2 \end{array} \right.}$ με $\;\;\;\;\;\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$

α. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ ώστε η $\displaystyle{f}$ να είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0} = 2}$

β. Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ για τις οποίες η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{{x_0} = 2}$

γ. Για $\displaystyle{\alpha = \frac{1}{3}}$ και $\displaystyle{\beta = 1}$ να υπολογίσετε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(1 + h) - f(1)}}{h}}$

ΑΣΚΗΣΗ 61

Δινεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{5}{2}{x^2} + 6x,x \in R}$

α. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Δινεται επίσης η συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \alpha \ln x + {x^2} - \beta x,x > 0}$ με $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$

β. Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ , ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στις ίδιες θέσεις με την συνάρτηση $\displaystyle{f}$

γ. Για $\displaystyle{\alpha = 12}$ και $\displaystyle{\beta = 10}$ , να μελετήσετε την συνάρτηση $\displaystyle{g}$ ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

δ. Για $\displaystyle{\alpha = 12}$ και $\displaystyle{\beta = 10}$ , να υπολογίσετε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{xg'(x)}}{{\sqrt {x + 6} - 3}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 24, 2012 11:21 am**

ΑΣΚΗΣΗ 62
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^3+ax^2-9x+\beta$ , όπου α,β πραγματικοί
αριθμοί.
α. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(2,5) της και ο ρυθμός μεταβολής της στο σημείο αυτό είναι ίσος με 15, να αποδείξετε ότι α=β=3.
β. Για α=β=3, να βρείτε το όριο $\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)+9}{{{x}^{2}}-4}$
γ. Για α=β=3, να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης g(x)=f'(x)+10

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 24, 2012 6:31 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 63

Δινεται η συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}$ ώστε : $\displaystyle{f'(x) = (x-1)^2 (x-2)}$

α. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

β. Να βρεθεί μία παράγουσα της συνάρτησης

.

ΥΓ: Γιατί η αρίθμηση ξεκινά από 40;;;

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 24, 2012 6:37 pm**

polysot έγραψε:ΥΓ: Γιατί η αρίθμηση ξεκινά από 40;;;

01-20 ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ
21-40 ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 24, 2012 7:35 pm**

parmenides51 έγραψε:
polysot έγραψε:ΥΓ: Γιατί η αρίθμηση ξεκινά από 40;;;
01-20 ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ
21-40 ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 24, 2012 9:28 pm**

Ευχαριστούμε Σωτήρη,

κάθε συνεισφορά είναι ευπρόσδεκτη, αν και είχαμε κατά νου το αρχείο θα το ετοιμάζαμε στο τέλος (και σε word),
περισσότερο μας ενδιαφέρει στην παρούσα φάση να υπάρχει μεγαλύτερη συμμετοχή στις προτεινόμενες ασκήσεις.

Λέμε για τις 70 στο κεφάλαιο των παραγώγων, και ελπίζουμε σε ιδέες που δεν είδαμε.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 02, 2012 4:27 am**

Μια έμπνευση......

Άσκηση 64

Δίνεται η συνάρτηση

με τύπο $f\left(x \right)=\frac{1}{x^{-3}}+\frac{1}{x^{-2}}-\frac{1}{x^{-1}}+e^{ax}$ , $a\varepsilon R$ . Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο A(1,2)

1) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
2) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού

3) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα στο διάστημα $\left(0,+\propto \right)$
4) Να λύσετε την εξίσωση $f'\left(-x \right)-f'\left(x \right)+f\left(x \right)+f\left(-x \right)=2$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 05, 2012 12:40 am**

ΑΣΚΗΣΗ 65

i. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\alpha}$ ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{{\alpha {x^2}}}{2} + 4x + 2012}$ να είναι γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

ii.Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f\left( x \right) = - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + 2012}$ στο όποιο ο ρυθμός μεταβολής της γίνεται μέγιστος

iii. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\lambda }$ ώστε το ελάχιστο της $\displaystyle{f\left( x \right) = {x^2} - 2\lambda x+ 2{\lambda} + 2012}$ να γίνεται μέγιστο

ΑΣΚΗΣΗ 66

Θεωρούμε την δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ που παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο $\displaystyle{(1,2012)}$ , την παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ συνάρτηση $\displaystyle{g(x)}$ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{(2012,51)}$ καθώς και τις συναρτήσεις $\displaystyle{h(x)=g(f(x))}$ με $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{k(x)=f(x)lnx}$ με $\displaystyle{x>0}$ .
Να υπολογίσετε τις τιμές
i. $\displaystyle{f(1)}$ και $\displaystyle{f'(1)}$
ii. $\displaystyle{h(1)}$ και $\displaystyle{k(1)}$
iii. $\displaystyle{h'(1)}$ και $\displaystyle{k'(1)}$
iv. $\displaystyle{k''(1)}$

ΑΣΚΗΣΗ 67

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $\displaystyle{f\left( x \right) = \eta \mu x,\,g\left( x \right) = {f^2}\left( x \right),\,h\left( x \right) = {e^x}f\left( {3x} \right)}$
i. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g\left( x \right) - f\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}}$
ii. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{g''\left( x \right) + 4g\left( x \right) = 2}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$
iii. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{h''\left( x \right) - 2h'\left( x \right) + 10h\left( x \right) = 0}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$
iv. Να βρείτε την παράγουσα της $\displaystyle{f}$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 05, 2012 1:20 am**

ΑΣΚΗΣΗ 68

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = {e^{\alpha x}} + \beta }$ με $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ .

α. Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ , αν γνωρίζεται οτι $\displaystyle{f(0) = 1}$ και $\displaystyle{f'(0) = { - 1}}}$

Για $\displaystyle{\alpha = - 1}$ και $\displaystyle{\beta = 0}$

β. Να λύθεί η εξίσωση $\displaystyle{{\kappa ^2}f''(x) + 2\kappa f'(x) + f(x) = 0}$

γ. Από σημείο $\displaystyle{M(x,y)}$ της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ , με $\displaystyle{x > 0}$ , φέρνουμε ευθείες παράλληλες προς τους άξονες $\displaystyle{x'x}$ και $\displaystyle{y'y}$ , οι οποίες σχηματίζουν με τους θετικούς ημιάξονες ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{M}$ , ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να γίνεται μέγιστο.

δ. Να βρεθεί η παράγουσα $\displaystyle{F}$ της $\displaystyle{f}$ που διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{K(0,2012)}$

Edit:Εγινε διόρθωση στη μια συνθήκη (12/3/2012)

ΑΣΚΗΣΗ 69

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + \alpha {x^2} + \beta x + \frac{1}{3}}$ , με $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ .

α. Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει ακρότατα στις θέσεις $\displaystyle{{x_1} = 2}$ και $\displaystyle{{x_2} = 3}$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{\alpha = - \frac{5}{2}}$ και $\displaystyle{\beta = 6}$ .

Για $\displaystyle{\alpha = - \frac{5}{2}}$ και $\displaystyle{\beta = 6}$

β. Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

γ. Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f'(x)}}{{\sqrt {x + 2} - 2}}}$

δ. Να βρεθεί η παράγουσα $\displaystyle{F}$ της $\displaystyle{f}$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 10, 2012 8:49 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 70 (τελευταία)

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = {e^{\alpha x}} - x + 3}$ με $\displaystyle{\alpha\in\mathbb{R}}$ .
Αν ισχύει ότι $\displaystyle{{e^{\alpha x}} - x + 3 \ge 4}$ για κάθε $x \in R$ :
i. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{(0,4)}$
ii. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha=1}$
iii. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση $\displaystyle{f}$
iv. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{e^x} \ge x + 1}$
v. Να συγκριθούν οι τιμές της $\displaystyle{f}$ για $\displaystyle{x_1=\frac{8}{9}}$ και $\displaystyle{x_2=\frac{7}{8}}$

Η αρίθμηση συνεχίζεται στην συλλογή ολοκληρωμάτων εδώ

mathematica.gr

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΠΑ.Λ