Συγγενείς συναρτησιακές

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Συγγενείς συναρτησιακές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Μαρ 03, 2012 4:26 pm

Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

Τη 2 την είδαμε εδώ, με την επιπλέον συνθήκη f(1)=1.
Νομίζω λύνεται αν έχουμε γενικά f(1)\ne 0.

Με προβληματίζει η 3...

1. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+yf(x))=f(x)+xf(y)

2. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(xy+f(x))=f(x)+xf(y)

3. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+xf(y))=f(x)+xf(y)

4. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+yf(x))=xy+f(x)

5. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+yf(x))=x+xf(y)

6. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(xy+f(x))=x+yf(x)

7. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(xy+f(x))=x+xf(y)

8. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+xf(y))=x+yf(x)

9. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+xf(y))=xy+f(x)

10. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(f(x)+xf(y))=xy+f(x)

11. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x^{3}+y^{3})=xf^{2}(x)+yf^{2}(y)  ,

12. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y)   ,

13. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \ f(f(x)+xy) = f(x)\cdot f(y+1),

14. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \ f\big(f(x+y)\big)=xf(x)+yf(y)

15. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \ f(x+f(xy))=f(x)+xf(y)

16. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+f(x)f(y))=f(x)+xf(y)

17. \forall x,y \in \Bbb{R} \ , \ \  f(xf(y)+f(x))=2f(x)+xy
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Τετ Μάιος 02, 2012 4:59 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Θανάσης Κοντογεώργης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Μαρ 19, 2012 9:46 pm

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.


14. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \ f\big(f(x+y)\big)=xf(x)+yf(y) (1)


Η (1) για x=y=0 δίνει f(f(0))=0

Η (1) για y=0 δίνει f(f(x))=xf(x) (2)

Η (1) για y=-x δίνει xf(x)-xf(-x)=0 \Rightarrow f(-x)=f(x),\ \forall x \neq 0 (3)

Η (1), λόγω της (2) γράφεται (x+y)f(x+y)=xf(x)+yf(y),\ \forall x,y \in \Bbb{R} (4)

Η (4) για y=x δίνει 2xf(2x)=2xf(x) \Rightarrow f(2x)=f(x),\ \forall x \neq 0 (5)

H (1) για y=-2x δίνει f(f(-x))=xf(x)-2xf(-2x) \Rightarrow f(f(x))=xf(x)-2xf(2x)

\Rightarrow f(f(x))=-xf(x), \forall x \neq 0 (6)

(2)+(6) \Rightarrow f(f(x))=0,\ \forall x \neq 0, άρα η (2) δίνει

xf(x)=0,\ \forall x \neq 0 \Rightarrow f(x)=0,\ \forall x \neq 0 και f(0)=a, a \in \Bbb{R},

που αληθεύει η αρχική.


Σπύρος Καπελλίδης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Μαρ 19, 2012 10:48 pm

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

13. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \ f(f(x)+xy) = f(x)\cdot f(y+1), (1)
1η περίπτωση: Υπάρχει x_0 \neq 0 ώστε f(x_0)=0, τότε η (1) για x=x_0

δίνει f(x_0y)=0,\ \forall y \in \Bbb{R}, άρα f(x)=0,\ \forall x \in \Bbb{R}, που αληθεύει την αρχική.

2η περίπτωση: f(0) \neq 0, τότε η (1) για x=0 δίνει \displaystyle{f(y+1)=\frac {f(f(0))}{f(0)},\ \forall y \in \Bbb{R}}

Άρα f(x)=c,\ \forall x \in \Bbb{R} και από την (1) βρίσκουμε c=1

3η περίπτωση: f(0)=0 τότε η (1) για y=-1 δίνει f(f(x)-x)=0,\ \forall x \in \Bbb{R}.

Αν υπάρχει x_0 \in \Bbb{R} ώστε f(x_0) \neq x_0, τότε ερχόμαστε στην 1η περίπτωση,

άρα f(x)=0,\ \forall x \in \Bbb{R}.

Αλλιώς θα πρέπει f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}, που αληθεύει την αρχική.


Σπύρος Καπελλίδης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Μαρ 20, 2012 12:24 pm

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

10. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(f(x)+xf(y))=xy+f(x) (1)
η (1) για x=1 δίνει f(f(x)+f(y))=y+f(1), άρα η f είναι 1-1.

Η (1) για x=y=0 δίνει f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0

Η (1) για y=0 δίνει f(f(x))=f(x),\ \forall x \in \Bbb{R} \Rightarrow f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R},

η οποία επαληθεύει την (1)


Σπύρος Καπελλίδης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Μαρ 20, 2012 12:46 pm

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&


9. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+xf(y))=xy+f(x) (1)
Κάπου έχω λάθος στις πράξεις, θα την ξανακοιτάξω. Θανάση σε ευχαριστώ.

Η (1) για x=1 δίνει f(1+f(y))=y+f(1),\ \forall y \in \Bbb{R} (2), άρα η f είναι 1-1 και επί.

Θεωρούμε y_0 \in \Bbb{R} με f(y_0)=0, οπότε η (2) για y=y_0 δίνει y_0=0 \Rightarrow f(0)=0

Θεωρούμε y_1 \in \Bbb{R} με f(y_1)=-1, οπότε η (1) για y=y_1 δίνει f(x)=-y_1x,\ \forall x \in \Bbb{R}

και επαληθεύοντας στην αρχική βρίσκουμε -y_1=1, άρα f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}
τελευταία επεξεργασία από s.kap σε Τρί Μαρ 20, 2012 2:19 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Σπύρος Καπελλίδης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Μαρ 20, 2012 1:14 pm

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&


8. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+xf(y))=x+yf(x) (1)
H (1) για x=y=0 δίνει f(0)=0 και η (1) για y=0 δίνει f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}, που

αληθεύει την αρχική


Σπύρος Καπελλίδης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Μαρ 20, 2012 1:26 pm

socrates έγραψε:.

1. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+yf(x))=f(x)+xf(y)
Την είδαμε εδώ: viewtopic.php?f=111&t=18770


Θανάσης Κοντογεώργης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Μαρ 20, 2012 2:00 pm

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

7. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(xy+f(x))=x+xf(y) (1)
Για x=y=0 έχουμε f(f(0))=0

Για y=0 και x=f(0) έχουμε f(0)=f(0)+f^2(0) \Rightarrow f(0)=0

Η (1) για y=0 δίνει f(f(x))=x,\ \forall x \in \Bbb{R} (2), άρα η f είναι 1-1.

Η (1) για y=f(y) δίνει f(xf(y)+f(x)=x+yx,\ \forall x,y \in \Bbb{R} (3)

Η (3) για y=-1 δίνει f(xf(-1)+f(x))=0=f(0) \Rightarrow f(x)=ax,\ \forall x \in \Bbb{R} και από τη (1)

παίρνουμε ότι a=\pm1


Σπύρος Καπελλίδης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Μαρ 21, 2012 9:43 am

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

6. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(xy+f(x))=x+yf(x) (1)
Για x=0 η (1) δίνει f(f(0))=yf(0),\ \forall y \in \Bbb{R}, άρα αναγκαστικά f(0)=0, οπότε η (1)

για x=1 δίνει f(y+f(1))=1+yf(1) και για y=-f(1) έχουμε f^2(1)=1 \Rightarrow f(1)=\pm1

Αν f(1)=1 τότε η (1) για x=1 δίνει f(y+1)=y+1,\ \forall y \in \Bbb{R}.

Άρα f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}, που επαληθεύει την αρχική.

Αν f(1)=-1 τότε η (1) για x=1 δίνει f(y-1)=-(y-1),\ \forall y \in \Bbb{R}.

Άρα f(x)=-x,\ \forall x \in \Bbb{R}, που επίσης επαληθεύει την αρχική.


Σπύρος Καπελλίδης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Μαρ 21, 2012 9:49 am

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

5. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+yf(x))=x+xf(y)
Αυτή παραείναι εύκολη:

Για x=y=0 έχουμε f(0)=0, οπότε η αρχική για y=0 δίνει f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}, που επαληθεύει την αρχική.


Σπύρος Καπελλίδης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Μαρ 21, 2012 1:58 pm

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&
4. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+yf(x))=xy+f(x) (1)
Έχουμε f(1) \neq 0, γιατί σε αντίθετη περίπτωση η (1) για x=1 δίνει y=0,\ \forall y \in \Bbb{R}, άτοπο.

Τότε η (1) για x=1 δίνει f(f(1)y+1)=y+f(1),\ \forall y \in \Bbb{R} (2)

Άρα η (2) για \displaystyle{y=\frac {x-1}{f(1)}} δίνει \displaystyle{f(x)=\frac {1}{f(1)}x+f(1)-\frac {1}{f(1)},\ \forall x \in \Bbb{R}}

και θέτοντας το στην αρχική βρίσκουμε f(1)=\pm1, το οποίο δίνει λύσεις

f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R} και f(x)=-x,\ \forall x \in \Bbb{R}


Σπύρος Καπελλίδης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μάιος 02, 2012 4:21 am



Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μάιος 02, 2012 4:23 am

socrates έγραψε:
11. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x^{3}+y^{3})=xf^{2}(x)+yf^{2}(y)  ,
viewtopic.php?f=111&t=14983


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μάιος 02, 2012 4:24 am

socrates έγραψε:
12. \forall x, y \in \mathbb{R} \ , \  \  f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y)   ,
viewtopic.php?f=111&t=14984


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μάιος 02, 2012 4:29 am



Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες