Δ.Ε

Ch.Chortis · #1

Να λύσετε τις εξισώσεις $x''+5x'+4=0,x''-\sqrt {6}x'-7=0,x'''+4x'-9=0$ καθώς και την $3\sqrt{2}x''+8\sqrt{8}x'+1=0$ .Δεν είμαι φοιτητής

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Ch.Chortis έγραψε:Να λύσετε τις εξισώσεις $x''+5x'+4=0,x''-\sqrt {6}x'-7=0,x'''+4x'-9=0$ καθώς και την $3\sqrt{2}x''+8\sqrt{8}x'+1=0$ ...

καλησπέρα Ch.Chortis

μια προφανής(;) ερώτηση: τα

,

από το βιβλίο που διαβάζεις φαίνεται να είναι συναρτήσεις π.χ. του

; Δηλαδή

,

;
Το να γράφουμε απλώς

,

, αντί

,

είναι κάτι που συνηθίζεται στην γραφή των διαφορικών εξισώσεων. Αλλά έχει σημασία να το έχεις κατανοήσει και εσύ ο ίδιος, πριν περάσουμε στις επιλύσεις.

φιλικά

Ch.Chortis · #3

grigkost έγραψε:γράφουμε απλώς , , , αντί , , είναι κάτι που συνηθίζεται στην γραφή των διαφορικών εξισώσεων. Αλλά έχει σημασία να το έχεις κατανοήσει και εσύ ο ίδιος, πριν περάσουμε στις επιλύσεις.
φιλικά

Άμα με είχατε ρωτήσει κάτι τέτοιο την Κυριακή που μας πέρασε,θα ήμουν σοκαρισμένος.Τη Δευτέρα όμως το κατάλαβα και ο ίδιος οτι πρόκειται ουσιαστικά για συναρτήσεις...

#4

κάπως συνοπτικά:

Κατά αρχήν όλες οι εξισώσεις που αναφέρεις είναι γραμμικές δ.ε. με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές, δηλαδή είναι της μορφής

$a_n\,y^{(n)}+a_{n-1}\,y^{(n-1)}+\ldots+a_2\,y''+a_1\,y'+a_0\,y=b\,,\quad(\star)$ , με $a_i,b\in\mathbb{R}$ , $i=0,1,\ldots,n$ .

Σε κάθε μια τέτοια δ.ε. έχουμε την αντίστοιχη ομογενή δ.ε. $a_n\,y^{(n)}+a_{n-1}\,y^{(n-1)}+\ldots+a_2\,y''+a_1\,y'+a_0\,y=0\,,\quad(\star\star)$ .

Για την δ.ε. $(\star\star)$ ορίζεται το χαρακτηριστικό της πολυώνυμο $P(\rho)=a_n\,\rho^{n}+a_{n-1}\,\rho^{n-1}+\ldots+a_2\,\rho^2+a_1\,\rho+a_0$ .

Αυτές οι γραμμικές δ.ε. είναι από τις ευκολότερες στην επίλυσή τους ή, για να είμαι ακριβής, η μοναδική δυσκολία στην επίλυσή τους είναι η επίλυση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Έτσι π.χ. αν $r_1,r_2,\ldots,r_n$ είναι οι διακεκριμένες πραγματικές ρίζες του πολυωνύμου $P(\rho)$ , τότε η γενική λύση της ομογενούς δ.ε. $(\star\star)$ είναι η $y=c_1\,e^{r_1}+c_2\,e^{r_2}+\ldots+c_n\,e^{r_n}$ και η γενική λύση της $(\star)$ είναι η $y=c_1\,e^{r_1}+c_2\,e^{r_2}+\ldots+c_n\,e^{r_n}+y_1$ όπου y_1

είναι μια μερική λύση της $(\star)$ .

Έτσι για την εξίσωση $y''+5y'=-4\,,\quad(1)$ , το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της αντίστοιχης ομογενούς δ.ε. y''+5y'=0

είναι $\rho^2+5\rho=0$ , οι ρίζες του πολυωνύμου είναι οι

και

και η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης είναι η $y(x)=c_1\,e^{-5x}+c_2\,e^{0x}=c_1\,e^{-5x}+c_2$ , $c_1,c_2\in\mathbb{R}$ . Μια μερική λύση της (1)

είναι η $y_1(x)=-\frac{4}{5}\,x$ . Επομένως η γενική λύση της (1)

είναι η $y(x)=c_1\,e^{-5x}+c_2-\frac{4}{5}\,x\,.\quad\square$

Ελπίζω να έδωσα κάποιες απαντήσεις στα ερωτήματά σου.

φιλικά

Atemlos · #5

Ch.Chortis έγραψε:Να λύσετε τις εξισώσεις $x''+5x'+4=0,x''-\sqrt {6}x'-7=0,x'''+4x'-9=0$ καθώς και την $3\sqrt{2}x''+8\sqrt{8}x'+1=0$ .Δεν είμαι φοιτητής
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
ασχολούμαι με τη φυσική τον τελευταίο καιρό και τις εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν χρησιμοποιώντας ένα εκλαϊκευμένο βιβλίο.Εκεί εμφανίζονται κάτι τέτοιες περίεργες εξισώσεις,όχι αυτές οι συγκεκριμένες σαφώς,απλά θα ήθελα να δω πως λύνονται .

Προσωπικά δεν καταλαβαίνω σε τι θα σας βοηθήσει η επίλυση κάποιας κλάσης ΔΕ.Επιπλέον συνήθως σε προβλήματα Μαθηματικής Φυσικής είναι απαραίτητη και η επίλυση προβλημάτων αρχικών/συνοριακών τιμών.Και εκεί τα Μαθηματικά γίνονται πολύπλοκα...

Ch.Chortis · #6

grigkost έγραψε:κάπως συνοπτικά:
Κατά αρχήν όλες οι εξισώσεις που αναφέρεις είναι γραμμικές δ.ε. με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές, δηλαδή είναι της μορφής
$a_n\,y^{(n)}+a_{n-1}\,y^{(n-1)}+\ldots+a_2\,y''+a_1\,y'+a_0\,y=b\,,\quad(\star)$ , με $a_i,b\in\mathbb{R}$ , $i=0,1,\ldots,n$ .
Σε κάθε μια τέτοια δ.ε. έχουμε την αντίστοιχη ομογενή δ.ε. $a_n\,y^{(n)}+a_{n-1}\,y^{(n-1)}+\ldots+a_2\,y''+a_1\,y'+a_0\,y=0\,,\quad(\star\star)$ .
Για την δ.ε. $(\star\star)$ ορίζεται το χαρακτηριστικό της πολυώνυμο $P(\rho)=a_n\,\rho^{n}+a_{n-1}\,\rho^{n-1}+\ldots+a_2\,\rho^2+a_1\,\rho+a_0$ .
Αυτές οι γραμμικές δ.ε. είναι από τις ευκολότερες στην επίλυσή τους ή, για να είμαι ακριβής, η μοναδική δυσκολία στην επίλυσή τους είναι η επίλυση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Έτσι π.χ. αν $r_1,r_2,\ldots,r_n$ είναι οι διακεκριμένες πραγματικές ρίζες του πολυωνύμου $P(\rho)$ , τότε η γενική λύση της ομογενούς δ.ε. $(\star\star)$ είναι η $y=c_1\,e^{r_1}+c_2\,e^{r_2}+\ldots+c_n\,e^{r_n}$ και η γενική λύση της $(\star)$ είναι η $y=c_1\,e^{r_1}+c_2\,e^{r_2}+\ldots+c_n\,e^{r_n}+y_1$ όπου είναι μια μερική λύση της $(\star)$ .
Έτσι για την εξίσωση $y''+5y'=-4\,,\quad(1)$ , το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της αντίστοιχης ομογενούς δ.ε. είναι $\rho^2+5\rho=0$ , οι ρίζες του πολυωνύμου είναι οι και και η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης είναι η $y(x)=c_1\,e^{-5x}+c_2\,e^{0x}=c_1\,e^{-5x}+c_2$ , $c_1,c_2\in\mathbb{R}$ . Μια μερική λύση της είναι η $y_1(x)=-\frac{4}{5}\,x$ . Επομένως η γενική λύση της είναι η $y(x)=c_1\,e^{-5x}+c_2-\frac{4}{5}\,x\,.\quad\square$
Ελπίζω να έδωσα κάποιες απαντήσεις στα ερωτήματά σου.
φιλικά

Κατανοητή η λύση σας θα ήθελα απλά να μου εξηγήσετε δύο συμβολισμούς:

1.τα (που μου θυμίζουν την ταχύτητα του φωτός) είναι σταθερές;

2.το είναι το ίδιο με εκείνο στους λογάριθμους

.Σε ο,τι αφορά τον Atemlos θα μπορούσες να μου δώσεις ένα παράδειγμα σχετικά με τις συνοριακές-αρχικές τιμές(μιλάς για όρια;).

pana1333 · #7

Μου κάνει λίγο περίεργο να σου είναι κατανοητή η λύση και να έχεις αυτές τις απορίες. Άνευ σημασίας. Απλό σχόλιο. Όσον αφορά τις απαντήσεις

1. ναι είναι πραγματικές σταθερές. Ορίστηκαν στη λύση $c_{1},c_{2}\varepsilon R$
2. ναι αυτό το e.
3. Όχι οι οριακές - συνοριακές συνθήκες δεν έχουν να κάνουν με όρια!

Ch.Chortis · #8

Σας ευχαριστώ Κ.Κανάβη.Στην πραγματικότητα ήθελα να βεβαιωθώ, αν ερμήνευσα σωστά τη λύση,με τις ερωτήσεις μου.

STOPJOHN · #9

Καλησπέρα ,να πω ότι παρόμοια παραδείγματα έχει το καλό βιβλίο του Σ.Τραχανά ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 από τις Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης , αν ενδιαφέρεται για περισσότερα παραδείγματα στις Δ.Ε.
Γιάννης Σ

Δ.Ε

Δ.Ε

Re: Δ.Ε

Re: Δ.Ε

Re: Δ.Ε

Re: Δ.Ε

Re: Δ.Ε

Re: Δ.Ε

Re: Δ.Ε

Re: Δ.Ε

Μέλη σε σύνδεση