Γ Λυκείου Ανισοσούλα

antonis2012 · #1

Σόρρυ για την γραφή , θα προσπαθήσω να την διορθώσω αύριο..

Να δειχθεί οτι:

$\displaystyle{ln\left(1+\frac {1}{x}\right)<\frac {1}{\sqrt{x+x^2}}}$

για καθε x>0

wolfram · #2

antonis2012 έγραψε:Σόρρυ για την γραφή , θα προσπαθήσω να την διορθώσω αύριο..

Να δειχθεί οτι:

$\displaystyle{ln\left(1+\frac {1}{x}\right)<\frac {1}{\sqrt{x+x^2}}}$

για καθε

Θεωρούμε την συνάρτηση $L(x)=\displaystyle{ln\left(1+\frac {1}{x}\right)-\frac {1}{\sqrt{x+x^2}}}$

Αυτή είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο πεδίο ορισμού της με παράγωγο $\displaystyle{ L'(x) = \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})^2}{2\cdot[x(x+1)]^\frac{3}{2}} > 0 ,\forall x > 0 }$

'Aρα η

είναι γν.αύξουσα στο $(0 , + \infty)$ οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε το σύνολο τιμών της.
$\displaystyle{\lim_{x\to \ 0^-}{L(x)} = -\infty}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to \ + \infty} {L(x)} = 0}$ .

Οπότε το σύνολο τιμών είναι το $(-\infty , 0)$ άρα $L(x) < 0 , \forall x > 0$

antonis2012 · #3

οκ ευχαριστώ

Γ Λυκείου Ανισοσούλα

Γ Λυκείου Ανισοσούλα

Re: Γ Λυκείου Ανισοσούλα

Re: Γ Λυκείου Ανισοσούλα

Μέλη σε σύνδεση