Σταθερό άθροισμα

#1

Δίνεται τρίγωνο ABC

και σημείο

στο εσωτερικό του.
Φέρουμε τις AO,BO,CO

που τέμνουν τις BC,AC,AB

στα σημεία K,L,N

αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι $\displaystyle{ \frac{OK}{AK}+\frac{OL}{BL}+\frac{ON}{CN}=1}$

Nick1990 · #2

Omorfo thema

Arkei AO/AK + BO/BL + CO/CN = 2

Einai (BAO)/(BAK) = AO/AK = (AOC)/(AKC) => AO/AK = [(BAO) + (AOC)]/[(BAK) + (AKC)] = (AOB)/(ABC) + (AOC)/(ABC)

Omoia gia tous allous 3 logous kai me prosthesi kata melh exoume oti to zitoumeno athroisma isoute me:

[(AOB) + (AOC) + (COB) + (AOC) + (COB) + (AOB)]/(ABC) = 2(ABC)/(ABC) = 2. qed

#3

ας το δούμε και λίγο διαφορετικά

έστω $AH \perp BC ,\,\, OZ \perp BC$

τα τρίγωνα BOC ,ABC

έχουν την ίδια βάση άρα

$\displaystyle{ \frac{OK}{AK}=\frac{OZ}{AH}=\frac{(BOC)}{(ABC)}}$

όμοια για τα AOC,ABC

και

$\displaystyle{\frac{OK}{AK}+\frac{OL}{BL}+\frac{ON}{CN}=\frac{(BOC)}{(ABC)}+\frac{(AOC)}{(ABC)}+\frac{(AOB)}{(ABC)}=\frac{(ABC)}{(ABC)}=1}$

Σταθερό άθροισμα

Σταθερό άθροισμα

Re: Σταθερό άθροισμα

Re: Σταθερό άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση