ορισμένο ολοκλήρωμα

mixalis_i · #1

Καλημέρα, έχω κολλήσει με μία άσκηση από το πρωί και θα ήθελα μια υπόδειξη αν γίνεται...

Έστω η συνάρτηση $f\left(x \right)=x^{3}+x-\eta \mu x$ .
Α. Να δείξετε ότι υπάρχει η $f^{-1}$ και να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ .
Β. Να υπολογίσετε το $\int_{-1}^{1}f^{-1}\left(x \right)dx$ .
Γ. Να βρείτε το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f^{-1}(x)}{x^{2}+1}}$ .

Για το πρώτο δεν έχω πρόβλημα αφού η συνάρτηση βγαίνει εύκολα γνησίως αύξουσα, άρα 1 - 1

και οπότε αντιστρέφεται. Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το σύνολο τιμών της

που μου βγαίνει όλο το

. Tα προβλήματα ξεκινάνε στο ολοκλήρωμα όπου θέτω $u=f^{-1}(x)\Leftrightarrow x=f(u)\Leftrightarrow dx=f'(u)du$ . Κολλάω στα όρια της ολοκλήρωσης αφού για $x=1\Leftrightarrow f(u)=1$ ..πώς θα βρω για ποια τιμή της

έχω τιμή 1 και -1, ώστε να βρω το

; Και το όριο πώς θα το βρω αφού δεν μπορώ να βρω τύπο της $f^{-1}$ ;

wolfram · #2

Θα έλεγα να το ''σπάσεις'' από

μέχρι

και από

μέχρι

. Τώρα δες λίγο την f(x)

με την

και συμμετρία.

Σόρρυ για το σύντομο του μηνύματός μου αλλά δεν έχω πολύ χρόνο .

parmenides51 · #3

Στο ολοκλήρωμα δεν χρειάζεται να κάνεις αλλαγή μεταβλητή από την στιγμή που δεν είναι ολοκλήρωμα της αντίστροφης,
υπολογίζεται απευθείας με αντικατάσταση της $\displaystyle{f}$

Για το όριο κάνεις την αλλαγή μεταβλητής της αντίστροφής $\displaystyle{u=f^{-1}(x)\Leftrightarrow x=f(u)}$
οπότε ψάχνεις όταν $\displaystyle{x\rightarrow +\propto }$ που τείνει η μεταβλητή $\displaystyle{u}$

mixalis_i · #4

parmenides51 έγραψε:Στο ολοκλήρωμα δεν χρειάζεται να κάνεις αλλαγή μεταβλητή από την στιγμή που δεν είναι ολοκλήρωμα της αντίστροφης,
υπολογίζεται απευθείας με αντικατάσταση της $\displaystyle{f}$

Για το όριο κάνεις την αλλαγή μεταβλητής της αντίστροφής $\displaystyle{u=f^{-1}(x)\Leftrightarrow x=f(u)}$
οπότε ψάχνεις όταν $\displaystyle{x\rightarrow +\propto }$ που τείνει η μεταβλητή $\displaystyle{u}$

Συγνώμη parmenides51, το διόρθωσα, το ολοκλήρωμα είναι για την αντίστροφη και όχι για την

. Αυτή ήταν και η βασική μου απορία..

#5

parmenides51 έγραψε:Στο ολοκλήρωμα δεν χρειάζεται να κάνεις αλλαγή μεταβλητή από την στιγμή που δεν είναι ολοκλήρωμα της αντίστροφης,
υπολογίζεται απευθείας με αντικατάσταση της $\displaystyle{f}$

Κι εγώ αυτό πήγα να γράψω αλλά έγινε διόρθωση...

mixalis_i · #6

chris_gatos έγραψε:
parmenides51 έγραψε:Στο ολοκλήρωμα δεν χρειάζεται να κάνεις αλλαγή μεταβλητή από την στιγμή που δεν είναι ολοκλήρωμα της αντίστροφης,
υπολογίζεται απευθείας με αντικατάσταση της $\displaystyle{f}$
Κι εγώ αυτό πήγα να γράψω αλλά έγινε διόρθωση...

Οπότε τώρα πώς μπορώ να βρω τις τιμές του

;

parmenides51 · #7

Παρατήρησε ότι $\displaystyle{f(-x)=-f(x)}$ και πως η λύση της εξίσωσης $\displaystyle{f(u)=1}$ είναι ο αριθμός $\displaystyle{f^{-1}(1)}$ .
Κάπως προχωράει νομίζω μετά την αλλαγή μεταβλητής της αντίστροφης ..

hsiodos · #8

mixalis_i

Ένας τρόπος : Να αποδείξεις ότι η αντίστροφη είναι περιττή συνάρτηση(πρώτα δείξε ότι η

είναι περιττή) .

Γιώργος

mixalis_i · #9

hsiodos έγραψε:mixalis_i

Ένας τρόπος : Να αποδείξεις ότι η αντίστροφη είναι περιττή συνάρτηση(πρώτα δείξε ότι η είναι περιττή) .

Γιώργος

Αν η

είναι περιττή είναι και η αντίστροφη περιττή; Πώς μπορώ να χρησιμοποιήσω ότι η αντίστροφη είναι περιττή;

parmenides51 · #10

η αντίστροφη περιττής είναι περιττή, σχετικά εδώ

hsiodos · #11

mixalis_i έγραψε:
hsiodos έγραψε:mixalis_i

Ένας τρόπος : Να αποδείξεις ότι η αντίστροφη είναι περιττή συνάρτηση(πρώτα δείξε ότι η είναι περιττή) .

Γιώργος
Αν η είναι περιττή είναι και η αντίστροφη περιττή; Πώς μπορώ να χρησιμοποιήσω ότι η αντίστροφη είναι περιττή;

Να αποδείξεις ότι η αντίστροφη είναι περιττή.

Μετά είναι εφαρμογή του γενικότερου θέματος: Αν μια συνάρτηση

είναι συνεχής και περιττή στο διάστημα [-a , a]

τότε $\displaystyle{\int_{ - a}^a {g(x)dx} = 0}$

Γιώργος

mixalis_i · #12

hsiodos έγραψε:
mixalis_i έγραψε:
hsiodos έγραψε:mixalis_i

Ένας τρόπος : Να αποδείξεις ότι η αντίστροφη είναι περιττή συνάρτηση(πρώτα δείξε ότι η είναι περιττή) .

Γιώργος
Αν η είναι περιττή είναι και η αντίστροφη περιττή; Πώς μπορώ να χρησιμοποιήσω ότι η αντίστροφη είναι περιττή;
Να αποδείξεις ότι η αντίστροφη είναι περιττή.

Μετά είναι εφαρμογή του γενικότερου θέματος: Αν μια συνάρτηση g είναι συνεχής και περιττή στο διάστημα [-α , α] τότε $\displaystyle{\int_{ - a}^a {g(x)dx} = 0}$

Γιώργος

Ναι σωστά! Ευχαριστώ πολύ! Και για το όριο ποια αλλαγή μεταβλητής να εφαρμόσω;

parmenides51 · #13

mixalis_i έγραψε:Και για το όριο ποια αλλαγή μεταβλητής να εφαρμόσω;

parmenides51 έγραψε:Για το όριο κάνεις την αλλαγή μεταβλητής της αντίστροφής $\displaystyle{u=f^{-1}(x)\Leftrightarrow x=f(u)}$
οπότε ψάχνεις όταν $\displaystyle{x\rightarrow +\propto }$ που τείνει η μεταβλητή $\displaystyle{u}$

mixalis_i · #14

parmenides51 έγραψε:
mixalis_i έγραψε:Και για το όριο ποια αλλαγή μεταβλητής να εφαρμόσω;

parmenides51 έγραψε:Για το όριο κάνεις την αλλαγή μεταβλητής της αντίστροφής $\displaystyle{u=f^{-1}(x)\Leftrightarrow x=f(u)}$
οπότε ψάχνεις όταν $\displaystyle{x\rightarrow +\propto }$ που τείνει η μεταβλητή $\displaystyle{u}$

Ευχαριστώ! Θα το προσπαθήσω...

mixalis_i · #15

Μετά τις υποδείξεις σας έχω καταλάβει πλήρως την άσκηση, απλώς έχω μια τελευταία απορία στο όριο (στο τελευταίο σκέλος). Για να λύσω το όριο κάνω την αντικατάσταση $u=f^{-1}(x)\Leftrightarrow x=f(u)$ , (όπως μου είπατε) οπότε τώρα το όριο γίνεται:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f^{-1}(x)}{x^{2}+1}=\lim_{u\rightarrow }\frac{u}{f^{2}(u)+1}}$ . Τα όρια της

στα άπειρα τα ξέρω από τα προηγούμενα ερωτήματα. Η απορία μου είναι πώς θα βρω πού τείνει το

όταν $x\rightarrow +\propto$ , αφού έτσι όπως το έθεσα είναι μεταβλητή μέσα στη συνάρτηση..;

parmenides51 · #16

δες εδώ μια παρόμοια για το όριο αντίστροφης

mixalis_i · #17

parmenides51 έγραψε:δες εδώ μια παρόμοια για το όριο αντίστροφης

Ευχαριστώ πολύ parmenides51! Τελικά ήταν πιο δύσκολο απ' ότι φανταζόμουν...

ορισμένο ολοκλήρωμα

ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση