ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ(Δ.9)

nikoszan · #1

H συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ {0,1} \right] \to R}$ είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και ισχύουν $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}$ και $\displaystyle{\int_0^1 {{e^{f'\left( x \right)}}} f'\left( x \right)dx = f\left( 1 \right)}$ ν.δ.ο. $\displaystyle{f\left( x \right) = 0,\forall x \in \left[ {0,1} \right]}$
(Μέχρι 10/04/2012)

gtk1994 · #2

Μια προσέγγιση...(ελπίζω σωστή)
$\displaystyle{\int_{0}^{1}{e^{f'(x)}f'(x)dx}=f(1)=f(1)-f(0)=\int_{0}^{1}{f'(x)dx}}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow \int_{0}^{1}{(e^{f'(x)}f'(x)-f'(x))dx}=0\Leftrightarrow \int_{0}^{1}{f'(x)(e^{f'(x)}-1)dx}=0}$
Όμως, εύκολα φαίνεται πως οι αριθμοί $f'(x), e^{f'(x)}-1$ είναι ομόσημοι.
Συνεπώς $\forall x\in (0,1), f'(x)(e^{f'(x)}-1)\geq 0$
Αν για κάποιο $x_0\in [0,1]$ ίσχυε $f'(x_0)\neq 0$ (π.χ f'(x_0)<0

), τότε με βάση και το προηγούμενο θα ίσχυε
$\int_{0}^{1}{f'(x)(e^{f'(x)}-1)dx}>0$ , άτοπο.
Συνεπώς, $f'(x)=0,\forall x \in [0,1]\Rightarrow f(x)=c, \forall x\in[0,1]$ .
Και επειδή f(0)=0

, τελικά $f(x)=0, x \in [0,1]$

Γιώργος

nikoszan · #3

Γιώργο

Ν.Ζ.

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ(Δ.9)

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ(Δ.9)

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

Μέλη σε σύνδεση