Σημειοσύνολα

#1

Έστω $\displaystyle{A=\{\frac {1}{p}+\frac {1}{q}/p,q \in \Bbb{N}^*\}}$

1) Να βρεθούν τα $\displaystyle{supA,infA}$

2) Να βρεθούν τα $\displaystyle{A'}$ και $\displaystyle{\left(A'\right)'}$

$\displaystyle{A'}$ =το παράγωγο σύνολο (τοπολογία η συνήθης)

Ιστοσελίδα · #2

1) $\dfrac{1}{p} , \dfrac{1}{q}\leq 1 \Rightarrow \dfrac{1}{p} +\dfrac{1}{q}\leq 2 .$ Η ισότητα ισχύει όταν p=q=1 .

Άρα $\sup A = \max A =2$

Για κάθε $p , q\in\mathbb{N^*}$ είναι: $\dfrac{1}{p} +\dfrac{1}{q} >0 .$

Έστω $\epsilon >0 .$ Επιλέγουμε θετικούς ακέραιους $m , n >\left[\dfrac{2}{\epsilon}\right]+1>\dfrac{2}{\epsilon}.$

Τότε: $\dfrac{1}{m} , \dfrac{1}{n} < \dfrac{\epsilon}{2}$ και $0<\dfrac{1}{m} +\dfrac{1}{n} < \epsilon .$ Άρα $\inf A =0 .$

2) Από προηγούμενα, το $0\in A' .$

Για κάθε $n\in\mathbb{N^*}$ το $\dfrac{1}{n}\in A' .$

Πράγματι, αν $\epsilon >0 ,$ υπάρχει $m\in\mathbb{N^*}$ με $\dfrac{1}{m}< \epsilon.$ Τότε: $\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}<\dfrac{1}{n}+\epsilon .$

Αν p , q

δεν είναι ταυτόχρονα ίσοι και άρτιοι (γιατί τότε θα ήταν $\dfrac{1}{p} +\dfrac{1}{q}= \dfrac{1}{n}$ ) τότε $\dfrac{1}{p} +\dfrac{1}{q}\notin A' .$

Πράγματι, το $(\frac{1}{p}+\frac{1}{q+1} , \frac{1}{p}+\frac{1}{q-1})\cap A ,$ ( q>1

) είναι πεπερασμένο σύνολο.

Άρα $A'=\{\frac{1}{n}: n=1 , 2 , ...\}\cup \{0\}$ και $(A')'=\{0\} .$

Ιστοσελίδα · #3

Μετά από παρατήρηση του Σπύρου, συμπληρώνω στην προηγούμενη λύση ότι τα σημεία συσσώρευσης του

είναι μόνο αυτά που αναφέρονται.

Προφανώς αν

ήταν ένα άλλο σημείο συσσώρευσης, τότε 0<a<2

και $a\neq \frac{1}{k} ,$ για κάποιο $k\in\mathbb{N^*} .$

Τότε υπάρχει μοναδικό $n\in\mathbb{N^*} ,$ με $\frac{1}{n}<a<\frac{1}{n+1}$ και $m\in\mathbb{N^*} ,$ με $\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\leq a<\frac{1}{n}+\frac{1}{m-1}$ ( m>1

).

Θα υπάρχει $\epsilon >0$ τέτοιος ώστε $(a-\epsilon , a+\epsilon)\subseteq (\frac{1}{n}+\frac{1}{m+1} , \frac{1}{n}+\frac{1}{m-1})$

Επομένως, $\left((a-\epsilon , a+\epsilon)\cap A\right)\subseteq \left((\frac{1}{n}+\frac{1}{m+1} , \frac{1}{n}+\frac{1}{m-1})\cap A\right)$ πεπερασμένο σύνολο.

#4

Ας δούμε και μία άλλη προσέγγιση, διαφορετική από αυτή του Στράτη (

).

Έχουμε $0 \in A'$ , γιατί $\displaystyle{0=\lim_{n \to \infty}\left(\frac {1}{n}+\frac {1}{n}\right)}$ .

Επίσης $\displaystyle{\frac {1}{p} \in A'}$ , για κάθε $p \in \Bbb{N}^*$ , γιατί $\displaystyle{\frac {1}{p}=\lim_{n \to \infty}\left(\frac {1}{p}+\frac {1}{n}\right)}$

Θα δείξουμε ότι το

δεν περιέχει άλλα στοιχεία εκτός του

και των $\frac {1}{p}$

Έστω a_n

μία ακολουθία στοιχείων του

με διακεκριμμένους όρους, τότε υποθέτουμε $\displaystyle{a_n=\frac {1}{p_n}+\frac {1}{q_n}}$ .

Πρέπει μία τουλάχιστον από τις ακολουθίες p_n

ή

να έχει άπειρους όρους διακεκριμμένους όρους.

Αν έχουν και οι δύο, τότε $p_n \to \infty$ και $q_n \to \infty$ , άρα $a_n \to 0$

Αν έχει μόνον η μία, ας πούμε η p_n

, τότε $p_n \to \infty$ , άρα $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a_n=max\{q_n, n \in \Bbb{N}^*\}}$

Άρα το ζητούμενο αποδείχθηκε, δηλαδή $\displaystyle{A'=\{0\} \cup \{\frac {1}{n}, n \in \Bbb{N}^*\}}$

Σημειοσύνολα

Σημειοσύνολα

Re: Σημειοσύνολα

Re: Σημειοσύνολα

Re: Σημειοσύνολα

Μέλη σε σύνδεση