mathematica.gr

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα , με , για κάθε .

Αν ισχύει , να αποδείξετε ότι :

1. Η στο έχει μέγιστο το .

2. .

Γιώργος Κ77 έγραψε:Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα , με , για κάθε .

Αν ισχύει , να αποδείξετε ότι :

1. Η στο έχει μέγιστο το .

2. .

1) Σύμφωνα με την υπόθεση, , οπότε αφού παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, από Θ.Μ.Τ. στο παίρνουμε ότι για κάθε .

Άρα στο , οπότε η παρουσιάζει μέγιστο στο με τιμή .

Το 2ο το αφήνω γιατί έχω ενδοιασμούς. Ας βάλει κάποιος άλλος τη λύση του και βλέπουμε.


Όλα αυτά είναι λάθος. Μεγάλη απροσεξία

Μα το ξ που εβγαλες δεν είναι συγκεκριμένος σταθερός αριθμός> Γιατί είναι για κάθε ξ?

Αυτό είναι και το λάθος που έκανε ο Ανδρέας.Η λύση που έδωσε δεν είναι σωστή.

Γιώργος Κ77 έγραψε:Αυτό είναι και το λάθος που έκανε ο Ανδρέας.Η λύση που έδωσε δεν είναι σωστή.

Εννοείται ότι δεν είναι σωστή. Αυτά κάνει η βιασύνη. Τώρα συνειδητοποίησα τι πατάτα έκανα. Την αποσύρω αμέσως.

Για το (α) μιας και η κουβέντα.
Η συνάρτηση έχει μέγιστο και ελάχιστο στο ως συνεχής.
Έστω ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο σε σημείο εσωτερικό του , τότε από Θ.Fermat είναι . Από τη μονοτονία της προκύπτει ότι το θα είναι μοναδικό και θέση ελαχίστου.
Η συνάρτηση δεν παρουσιάζει μέγιστο σε εσωτερικό του οπότε το μέγιστο είναι στο άκρο και από την το ζητούμενο

Για το πρώτο:
Η f συνεχής σε κλειστό διάστημα. Συνεπώς, παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο.
Επειδή , ισχύει πως το μέγιστο δε μπορεί να εμφανίζεται στο 0.
Έστω , ότι δεν παρουσιάζεται στο 1.
Τότε, υπάρχει ώστε .
Από Fermat, .
Όμως, η f' είναι γνησίως αύξουσα. Άρα ,
H f γνησίως αύξουσα στο
Συνεπώς, , άτοπο
Άρα, η f παρουσιάζει μεγιστο στο 1 to f(1).

Γιώργος

Για το (β) εφαρμόζω Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα . Προκύπτουν αντίστοιχα έτσι ώστε . Από τη μονοτονία της είναι
.
Με ολοκλήρωση στην τελευταία προκύπτει το ζητούμενο