Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Γιώργος Απόκης · #1

Παράλληλα με τη συλλογή στην Άλγεβρα, ας αρχίσουμε και με Γεωμετρία.

Ας προσπαθήσουμε να κρατήσουμε τους κανόνες που είχαμε και στις άλλες συλλογές.

$\bullet$ ΟΧΙ θέματα εξετάσεων (αν και είναι λίγα).

$\bullet$ ΟΧΙ θεματα της ΟΕΦΕ.

$\bullet$ OXI περισσότερες των 2-3 άλυτων ασκήσεων.

$\bullet$ Ας βάλουμε στόχο γύρω στις 20 ασκήσεις σε κάθε κεφάλαιο (με τη σειρά που υπάρχουν στο σχολικό)

$\bullet$ Να μην μπαίνει άσκηση συνδυαστική από μεταγενέστερο κεφάλαιο.

$\bullet$ Εφόσον τα προτεινόμενα θέματα τα αντλούμε από διάφορα βοηθήματα, επιβάλλεται να αναφέρεται η πηγή (εφόσον υπάρχει).

$\bullet$ Ας μην προτείνουμε τραβηγμένα θέματα, ούτε ασκήσεις με ένα ερώτημα.

$\bullet$ Ας προσπαθήσουμε τα προτεινόμενα θέματα να έχουν ένα ικανό αριθμό υποερωτημάτων (από 3 έως 5 ερωτήματα).

$\bullet$ Να προσπαθούμε να δίνουμε ολοκληρωμένες λύσεις, έτσι ίσως βοηθήσουμε όποιον φτιάξει το φυλλάδιο να μας δώσει εκτός του αρχείου των εκφωνήσεων και αρχείο με λύσεις.

Επίσης θα είναι κατανοητές και από τους μαθητες.

Λόγω του μικρού αριθμού των ασκήσεων, θα ήθελα οι συμμετέχοντες να κοιτάζουν τα προηγούμενα θέματα, ώστε να μην έχουμε ασκήσεις ίδιας μορφής.

Γιώργος Απόκης · #2

ΑΣΚΗΣΗ 1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC~(\hat A =90^{o})$ ισχύει : AC=2AB

. Αν

το μέσο της

,

σημείο της

με $\widehat{EDA}=\widehat{DBC}$ και $DZ\perp BC$ (

επί της

), να δείξετε ότι :

α) $BC=AB\sqrt{5},~DB=AB\sqrt{2}$ ,

β) τα τρίγωνα ZCD,ABC

είναι όμοια,

γ) $\displaystyle{DZ=\frac{\sqrt{5}}{5}AB},~BZ=\frac{3\sqrt{5}}{5}AB}$ .

ΖΩΗ · #3

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC~(\hat A =90^{o})$ ισχύει : . Αν το μέσο της ,

σημείο της με $\widehat{EDA}=\widehat{DBC}$ και $DZ\perp BC$ ( επί της ), να δείξετε ότι :

α) $BC=AB\sqrt{5},~DB=AB\sqrt{2}$ ,

β) τα τρίγωνα είναι όμοια,

γ) $\displaystyle{DZ=\frac{\sqrt{5}}{5}AB},~BZ=\frac{3\sqrt{5}}{5}AB}$ .

α) Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα $\displaystyle{\overset{\triangle}{ABC},\,\overset{\triangle}{ABD} }$ έχουμε: $\displaystyle{BC^2 = AB^2+AC^2 \overset{AC=2AB}{=\!=\!=}5AB^2 \implies BC = \sqrt{5}AB,}$ (1)

$\displaystyle{BD^2 =AD^2+AB^2\overset{AD=\frac{AC}{2}=AB}{=\!=\!=\!=\!=\!=}2AB^2 \implies BD = \sqrt{2}AB.}$ (2)

β) Tα τρίγωνα $\displaystyle{\overset{\triangle}{ABC},\,\overset{\triangle}{ZCD} }$ είναι όμοια αφού είναι ορθογώνια - $\displaystyle{\hat{A}=\hat{Z} =90^\circ}$ - και έχουν τη γωνία $\displaystyle{\hat{C}}$ κοινή.

γ) Από την ομοιότητα των $\displaystyle{\overset{\triangle}{ABC},\,\overset{\triangle}{ZCD} }$ έχουμε: $\displaystyle{\frac{DZ}{AB}=\frac{DC}{BC}\underset{(1)}{\overset{DC=\frac{AC}{2}=AB}{=\!=\!=\!=\!=\Longrightarrow }}DZ = \frac{AB}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}AB.}$ (3)

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στo $\displaystyle{\overset{\triangle}{ZBD}}$ έχουμε: $\displaystyle{BZ^2 = BD^2-DZ^2 \overset{(2),(3)}{=\!=\!=}\frac{9}{5}AB^2 \implies BZ =\frac{3 \sqrt{5}}{5}AB.}$

Γιώργος Απόκης · #4

ΖΩΗ έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1
Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC~(\hat A =90^{o})$ ισχύει : . Αν το μέσο της ,
σημείο της με $\widehat{EDA}=\widehat{DBC}$ και $DZ\perp BC$ ( επί της ), να δείξετε ότι :
α) $BC=AB\sqrt{5},~DB=AB\sqrt{2}$ ,
β) τα τρίγωνα είναι όμοια,
γ) $\displaystyle{DZ=\frac{\sqrt{5}}{5}AB},~BZ=\frac{3\sqrt{5}}{5}AB}$ .
α) Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα $\displaystyle{\overset{\triangle}{ABC},\,\overset{\triangle}{ABD} }$ έχουμε: $\displaystyle{BC^2 = AB^2+AC^2 \overset{AC=2AB}{=\!=\!=}5AB^2 \implies BC = \sqrt{5}AB,}$ (1)
$\displaystyle{BD^2 =AD^2+AB^2\overset{AD=\frac{AC}{2}=AB}{=\!=\!=\!=\!=\!=}2AB^2 \implies BD = \sqrt{2}AB.}$ (2)
β) Tα τρίγωνα $\displaystyle{\overset{\triangle}{ABC},\,\overset{\triangle}{ZCD} }$ είναι όμοια αφού είναι ορθογώνια - $\displaystyle{\hat{A}=\hat{Z} =90^\circ}$ - και έχουν τη γωνία $\displaystyle{\hat{C}}$ κοινή.
γ) Από την ομοιότητα των $\displaystyle{\overset{\triangle}{ABC},\,\overset{\triangle}{ZCD} }$ έχουμε: $\displaystyle{\frac{DZ}{AB}=\frac{DC}{BC}\underset{(1)}{\overset{DC=\frac{AC}{2}=AB}{=\!=\!=\!=\!=\Longrightarrow }}DZ = \frac{AB}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}AB.}$ (3)
Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στo $\displaystyle{\overset{\triangle}{ZBD}}$ έχουμε: $\displaystyle{BZ^2 = BD^2-DZ^2 \overset{(2),(3)}{=\!=\!=}\frac{9}{5}AB^2 \implies BZ =\frac{3 \sqrt{5}}{5}AB.}$

Ένα σχήμα για τη λύση της Ζωής

Γιώργος Απόκης · #5

ΑΣΚΗΣΗ 2

Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD

είναι :

και

. Φέρουμε τις $DE\perp AB,~BZ\perp CD$ .

Aν

το σημείο τομής των AC,BD

, να δείξετε ότι :

α) $DE=BZ=9\sqrt{7}$ ,

β) το ABCD

είναι ισοσκελές τραπέζιο,

γ) τα τρίγωνα ABC,BCK

είναι όμοια,

δ) οι διαγώνιοι AC,BD

σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις γωνίες του ABCD

.

KARKAR · #6

Άσκηση 3
Σε τετράγωνο ABCD

, πλευράς

, είναι εγγεγραμμένος κύκλος που εφάπτεται των πλευρών

BC , CD

στα σημεία M , N

αντίστοιχα . Η

τέμνει τον κύκλο στο

και την

στο

.

1) Δείξτε ότι AM=BN

και $AM \perp BN$

2) Δείξτε ότι : $\displaystyle \frac{SM}{SA}=\frac{1}{4}$ και $\displaystyle \frac{SN}{SB}=\frac{3}{2}$

3) Δείξτε ότι το

είναι το μέσο του

mathlete23 · #7

ΑΣΚΗΣΗ 2

Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD είναι : και . Φέρουμε τις $DE\perp AB,~BZ\perp CD.$

Aν K το σημείο τομής των AC,BD, να δείξετε ότι :

α) $DE=BZ=9\sqrt{7}$ ,

β) το ABCD είναι ισοσκελές τραπέζιο,

γ) τα τρίγωνα ABC,BCK είναι όμοια,

δ) οι διαγώνιοι AC,BD σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις γωνίες του ABCD.

Συνημμένα

ask2.png

α) Θα εκφράσουμε το εμβαδόν του $\displaystyle{\overset {\triangle}{ABD}}$ με δύο διαφορετικούς τρόπους, αρχικά χρησιμοποιώντας τον συμβατικό τύπο και ύστερα με την βοήθεια του τύπου του Ήρωνα για εμβαδόν τριγώνου:
$\rightarrow \displaystyle E_{{\overset {\triangle}{ABD}}}=\frac{DE\cdot AB}{2}=15 DE$
$\rightarrow \displaystyle E_{{\overset {\triangle}{ABD}}}=\sqrt{45(45-36)(45-24)(45-30)}=\sqrt{45\cdot 9\cdot 21\cdot 15}=135\sqrt{7}$
Άρα τελικά:
$\displaystyle DE=\frac{135\sqrt{7}}{15} \Leftrightarrow \boxed{DE=9\sqrt{7}}$

'Ομοια και στο $\displaystyle{\overset {\triangle}{DCB}}$ προκύπτει ότι:
$\displaystyle BZ=\frac{108\sqrt{7}}{12} \Leftrightarrow \boxed{BZ=9\sqrt{7}}$

β)Επειδή ισχύει ότι $\displaystyle DE=BZ, DE\perp AB, BZ\perp DC$ , θα πρέπει να είναι και $\displaystyle DC\parallel AB$ , δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις για να είναι το τετράπλευρο ισοσκελές τραπέζιο, καθώς και οι μη παράλληλες πλευρές του είναι μεταξύ τους ίσες.

γ)Το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο, και συνάγουμε τα εξής:
$\displaystyle \angle CAB=\angle BDC=\angle CBD$ , διότι και το $\displaystyle{\overset {\triangle}{DCB}}$ είναι ισοσκελές.
Tα εν λόγω τρίγωνα, που έχουν και την $\displaystyle \angle ACB$ κοινή, συμπεραίνουμε ότι είναι όμοια.

δ)Από την ομοιότητα του γ), συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle \angle CKB=\angle CBA$ , και έτσι εύκολα δείχνουμε ότι και $\displaystyle \angle DKA=\angle CKB$ (κατακορυφήν) και οι άλλες 2 γωνίες ως παραπληρωματικές είναι ίσες με τις $\displaystyle \angle ADC,\angle BCD$ , τις αντίστοιχες παραπληρωματικές των $\displaystyle \angle DAB, \angle CBA$ $, ως εντός και επί τα αυτά γωνίες.

mathlete23 · #8

Άσκηση 3
Σε τετράγωνο , πλευράς , είναι εγγεγραμμένος κύκλος που εφάπτεται των πλευρών

στα σημεία αντίστοιχα . Η τέμνει τον κύκλο στο και την στο .

1) Δείξτε ότι και $AM \perp BN$

2) Δείξτε ότι : $\displaystyle \frac{SM}{SA}=\frac{1}{4}$ και $\displaystyle \frac{SN}{SB}=\frac{3}{2}$

3) Δείξτε ότι το είναι το μέσο του

1) Παρατηρούμε ότι στα $\displaystyle {\overset{\triangle}{ABM}}, \displaystyle {\overset{\triangle}{BNC}}$ ισχύουν:
$\displaystyle \rightarrow AB=BC=2a$
$\displaystyle \rightarrow BM=NC=\frac{2a}{2}=a$
$\displaystyle \rightarrow \angle MBA =\angle BCN =90^{o}$ .
Τα τρίγωνα είναι ίσα και συνεπώς $\displaystyle AM=BN$ . Επίσης παρατηρούμε ότι:
$\displaystyle \angle BNC +\angle NBC=90^{o} \Leftrightarrow \angle BMA+ \angle NBC =90^{o}$ ,
λόγω της παραπάνω ισότητας. Η τελευταία σχέση μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι $\displaystyle \angle BSM=90^{o}$ , αν κοιτάξουμε το
$\displaystyle {\overset{\triangle}{BSM}}$ , με άλλα λόγια $AM \perp BN$ .

2)Εργαζόμαστε με ομοιότητες τριγώνων:
$\displaystyle {\overset{\triangle}{SBM}} \sim {\overset{\triangle}{SBA}} \rightarrow \frac{SM}{SB}=\frac{SB}{SA}=\frac{MB}{AB}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \frac{SM}{SA}=\frac{\frac{SB}{2}}{2SB} \Leftrightarrow \boxed{\frac{SM}{SA}=\frac{1}{4}}$ .
Για το δεύτερο ερώτημα:
$\displaystyle {\overset{\triangle}{ABM}} \rightarrow BS^{2}=AS\cdot SM=AS\cdot \frac{AS}{4}=\frac{AS^2}{4} \Leftrightarrow BS=\frac{AS}{2}$
$\displaystyle BN=AM\Leftrightarrow BS+SN=AS+SM \Leftrightarrow SN+\frac{AS}{2}=AS+SM \Leftrightarrow SN=\frac{AS}{2}+\frac{AS}{4} \Leftrightarrow SN=\frac{3AS}{4}$ .
Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι:
$\displaystyle \frac{SN}{SB}=\frac{\frac{3AS}{4}}{\frac{AS}{2}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{SN}{SB}=\frac{3}{2}}$

3) Έστω $\displaystyle E$ το σημείο επαφής του κύκλου με την $\displaystyle AB$ . Τότε η $\displaystyle NE$ είναι διάμετρος και άρα
$\displaystyle \angle NTE=90^{o} \Leftrightarrow ET\parallel AS$ .
Όμως, επειδή και $\displaystyle AE=EB=a$ , από την γνωστή πρόταση για την περίπτωση αυτή σε τρίγωνα, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι και $\displaystyle ST=TB$ .

Υ.Γ. Πολύ ωραία άσκηση!

Γιώργος Απόκης · #9

ΑΣΚΗΣΗ 4

Έστω τραπέζιο ABCD~(AB//CD)

με

. Θεωρούμε τις CE // DB,CZ // AD

(τα

στο φορέα της

).

Aν $CH\perp AB$ , να αποδείξετε ότι :

α) το μέσο

του

είναι μέσο και του

,

β) $BD^2-AC^2=2AE\cdot MH$ και $BC^2-AD^2=2ZB\cdot MH$ ,

γ) $\displaystyle{\frac{BD^2-AC^2}{BC^2-AD^2}=\frac{AB+CD}{AB-CD}}$ .

Χάρης Γ.Λ. · #10

ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνονται οι κυκλοι $\displaystyle{\left( {O,3R} \right)}$ και $\displaystyle{\left( {K,R} \right)}$ που εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α . Έστω ΒΓ το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων .Να υπολογιστούν :
α) Το εφαπτόμενο τμήμα ΒΓ.
β) Το εμβαδό του τραπεζίου ΟΓΒΚ.
γ) Το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.
δ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
ε) Το μήκος και το εμβαδόν του εγγεγραμμένου και περιγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ .
ζ) Αν το τμήμα ΑΕ είναι κάθετο στη ΒΓ , να υπολογίσετε τα τμήματα ΑΕ , ΓΕ , ΒΕ .

Καλή Ανάσταση σ' όλους

orestisgotsis · #11

ΠΕΡΙΤΤΑ

Γιώργος Απόκης · #12

Χάρης Γ.Λ. έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5
Δίνονται οι κυκλοι $\displaystyle{\left( {O,3R} \right)}$ και $\displaystyle{\left( {K,R} \right)}$ που εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α . Έστω ΒΓ το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων .Να υπολογιστούν :
α) Το εφαπτόμενο τμήμα ΒΓ.
β) Το εμβαδό του τραπεζίου ΟΓΒΚ.
γ) Το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.
δ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
ε) Το μήκος και το εμβαδόν του εγγεγραμμένου και περιγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ .
ζ) Αν το τμήμα ΑΕ είναι κάθετο στη ΒΓ , να υπολογίσετε τα τμήματα ΑΕ , ΓΕ , ΒΕ

Ένα σχήμα για την άσκηση 5

Ιστοσελίδα · #13

ΑΣΚΗΣΗ 6η

Δίνεται κανονικό ν – γωνο με εμβαδό $\displaystyle{ E_\nu = 48cm^2 }$ , το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{ (O,R) }$ . Αν η γωνία του πολυγώνου $\displaystyle{ \varphi _\nu }$ είναι πενταπλάσια της κεντρικής του γωνίας $\displaystyle{ \omega _\nu }$ , τότε να βρείτε:

α. Το πλήθος των πλευρών του κανονικού πολυγώνου.
β. Να υπολογίσετε σε μοίρες την γωνία του και την κεντρική γωνία του.
γ. Να βρεθεί η ακτίνα $\displaystyle{ R }$ του περιγγεγραμμένου στο κανονικό πολύγωνο κύκλου.
δ. Την πλευρά $\displaystyle{ \lambda _{12} }$ του κανονικού δωδεκαγώνου που είναι εγγεγραμμένο στο κύκλο $\displaystyle{ (O,R) }$
ε. Το απόστημα $\displaystyle{ \alpha _{12} }$ του κανονικού δωδεκαγώνου στο κύκλο $\displaystyle{ (O,R) }$
στ. Το εμβαδό του κανονικού εξαγώνου $\displaystyle{ E_6 }$ που είναι εγγεγραμμένος στο κύκλο $\displaystyle{ (O,R) }$ .

orestisgotsis · #14

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #15

ΠΕΡΙΤΤΑ

Ιστοσελίδα · #16

ΑΣΚΗΣΗ 7η

Σε κύκλο $\displaystyle{ (O,R) }$ θεωρούμε μια χορδή $\displaystyle{ AB = \lambda _4 }$ και $\displaystyle{ K }$ το μέσο του τόξου $\displaystyle{ AB }$

α) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{ AK = R \cdot \sqrt {2 - \sqrt 2 } }$

β) Αν $\displaystyle{ OP }$ είναι το απόστημα της χορδής $\displaystyle{ AK }$ , να δείξετε ότι: $\displaystyle{ OP = \frac{R}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } }$

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού τμήματος που καθορίζεται από την χορδή $\displaystyle{ AK }$ και το τόξο $\displaystyle{ AK }$ .

orestisgotsis · #17

ΠΕΡΙΤΤΑ

Ιστοσελίδα · #18

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7η

Σε κύκλο $\displaystyle{ (O,R) }$ θεωρούμε μια χορδή $\displaystyle{ AB = \lambda _4 }$ και $\displaystyle{ K }$ το μέσο του τόξου $\displaystyle{ AB }$

α) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{ AK = R \cdot \sqrt {2 - \sqrt 2 } }$

β) Αν $\displaystyle{ OP }$ είναι το απόστημα της χορδής $\displaystyle{ AK }$ , να δείξετε ότι: $\displaystyle{ OP = \frac{R}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } }$

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού τμήματος που καθορίζεται από την χορδή $\displaystyle{ AK }$ και το τόξο $\displaystyle{ AK }$ .

και το σχήμα στην ΑΣΚΗΣΗ 7η

KARKAR · #19

Άσκηση 8
Οι διάμεσοι

και

του ορθογωνίου ( $\widehat{A}=90^0$ ) τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνονται κάθετα στο

.

1) Δείξτε ότι : $\phi=\theta$

2) Βρείτε το λόγο : $\displaystyle \frac{AM}{BN}$

3) Δείξτε ότι τα ομοιόχρωμα πολύγωνα είναι ισεμβαδικά .

orestisgotsis · #20

ΠΕΡΙΤΤΑ

Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση