Πραγματικές ρίζες πολυωνύμου.

#1

Έστω πολυώνυμο ν-οστού βαθμού, το οποίο ορίζεται αναδρομικά ως κάτωθι:

$P_{0}(x)=1$ , $P_{1}(x)=x+1$ και $P_{n}(x)=xP_{n-1}(x)-P_{n-2}(x)$

Να αποδειχθεί ότι όλες οι ρίζες του είναι πραγματικές (και να βρεθούν).

Καλό καλοκαίρι σ' όλα τα μέλη της μικρής μας κοινότητας, από αύριο και για ένα δεκαήμερο θα χαλαρώσουμε στην Χαλκιδική.

dement · #2

Παρατηρουμε οτι ολα τα πολυωνυμα ειναι μονικα.

Θα αποδειξουμε επαγωγικα οτι το πολυωνυμο P_n

εχει

διακριτες πραγματικες ριζες οι οποιες βρισκονται γνησιως αναμεσα στις ομοιως διακριτες n+1

πραγματικες ριζες του $P_{n+1}$ (μια ριζα για καθε διαστημα).

Για n = 1

ισχυει (με απλο υπολογισμο).

Εστω οτι ισχυει για μεχρι n = k - 1

. Εστω

δυο 'διπλανες' ριζες του P_k

. Απο τον αναδρομικο τυπο εχουμε $P_{k+1} (p_k) = - P_{k-1} (p_k)$ (και ομοιως για την r_k

). Αφου $P_{k-1} (p_k) P_{k-1} (r_k) < 0$ (απο την επαγ. υποθεση), θα ισχυει επισης $P_{k+1} (p_k) P_{k+1} (r_k) < 0$ . Αρα το $P_{k+1}$ εχει τουλαχιστον μια ριζα στο (p_k, r_k)

.

Εστω a_k, b_k

αντιστοιχα η ελαχιστη και η μεγιστη ριζα του P_k

. Το $P_{k-1}$ σε αυτα τα σημεια εχει το 'σωστο' προσημο (αυτο με το οποιο θα συνεχισει το ταξιδι του προς το απειρο). Αρα, αφου το $P_{k+1}$ ειναι επισης μονικο και με βαθμο ιδιας 'αρτιοτητας' με το $P_{k-1}$ , ισχυει οτι θα εχει 'λαθος' προσημο στα a_k, b_k

. Οποτε, το $P_{k+1}$ εχει ακομα μια ριζα μικροτερη του a_k

και μια μεγαλυτερη του b_k

. Αυτο ολοκληρωνει την αποδειξη.

Τωρα για να βρεθουν οι ριζες...εκει κολλαω ακομα! Καλα να περασεις στη Χαλκιδικη.

Δημητρης Σκουτερης

#3

Είναι ένα όμορφο θέμα που αντιμετώπισα πριν καμιά 5-ετία. ... καλό χειμώνα ...

Πραγματικές ρίζες πολυωνύμου.

Πραγματικές ρίζες πολυωνύμου.

Re: Πραγματικές ρίζες πολυωνύμου.

Re: Πραγματικές ρίζες πολυωνύμου.

Μέλη σε σύνδεση