Ευρεση f

eL3oS · #1

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(-x)\,f'(x) = 4$ , για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και η εφαπτομένη της C_f

στο σημείο M(0,f(0))

διέρχεται απο το σημείο A(1,-4)

.

α) Να βρείτε το f(0)

και το

.
β) Να αποδείξετε ότι είναι γνησίως φθίνουσα.

Χάρης Γ.Λ. · #2

Καλησπέρα
Χρόνια Πόλλα & Χριστός Ανέστη

Έστω $\displaystyle{f\left( { - x} \right) \cdot f'\left( x \right) = 4}$ (1) .Θέτουμε στην (1) όπου $\displaystyle{x = - x}$ και έχουμε $\displaystyle{f\left( x \right) \cdot f'\left( { - x} \right) = 4}$ (2) .Από τις σχέσεις (1) και (2) με έχουμε $\displaystyle{f\left( x \right) \cdot f'\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right) \cdot f'\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) \cdot f'\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot f'\left( { - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {f\left( { - x} \right) \cdot f\left( x \right)} \right]' = 0}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) \cdot f\left( x \right) = c,c \in \mathbb{R}}$ (3) .
α) Η εφαπτομένη στο σημείο Μ είναι (ε) $\displaystyle{\psi - f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right)}$ και επειδή διέρχεται από το Α ισχύει $\displaystyle{ - 4 - f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)}$ (4) . Για $\displaystyle{x = 0}$ η σχέση (1) γράφεται $\displaystyle{f\left( 0 \right) \cdot f'\left( 0 \right) = 4\mathop \Leftrightarrow \limits^4 f\left( 0 \right) \cdot \left( { - 4 - f\left( 0 \right)} \right) = 4 \Leftrightarrow {f^2}\left( 0 \right) + 4f\left( 0 \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {f\left( 0 \right) + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = - 2}$ . Άρα από τη σχέση (4) προκύπτει $\displaystyle{f'\left( 0 \right) = - 2}$ .
β) Από τη σχέση (2) προκύπτει ότι $\displaystyle{f\left( x \right),f'\left( { - x} \right)}$ είναι ομόσημοι για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ οπότε $\displaystyle{f\left( x \right) \ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ . Για $\displaystyle{x = 0}$ από τη σχέση (3) έχουμε $\displaystyle{f\left( 0 \right) \cdot f\left( 0 \right) = c \Leftrightarrow c = {f^2}\left( 0 \right) = 4}$ .
Άρα $\displaystyle{f'\left( x \right) \cdot f\left( { - x} \right) = 4\mathop \Leftrightarrow \limits^3 f'\left( x \right) \cdot \frac{4}{{f\left( x \right)}} = 4 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {c_1}{e^x}}$ , $\displaystyle{{c_1} \in \mathbb{R}}$ .
Για για $\displaystyle{x = 0}$ έχουμε $\displaystyle{f\left( 0 \right) = {c_1}{e^0} \Leftrightarrow {c_1} = - 2}$ , άρα $\displaystyle{f\left( x \right) = - 2{e^x}}$ με $\displaystyle{f'\left( x \right) = - 2{e^x} < 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ άρα $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ γνησίως φθινουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Ευρεση f

Ευρεση f

Re: Ευρεση f

Μέλη σε σύνδεση