Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3

peter · #1

4. Έστω

ακολουθία αριθμών και $S_m(x)=\sum_{k=1}^m c_k\cos (k\pi x)$ για $m=1,2,\ldots$ . Για κάθε $N\in \mathbb N$ ισχύει: $\displaystyle \int_{-1}^1 \max_{1\leq m\leq N}|S_m(x)|^2\, dx\leq C \log^2N \sum_{m=1}^N|c_m|^2$ , όπου C>0

είναι μια απόλυτη σταθερά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

peter έγραψε: Δευ Απρ 16, 2012 4:31 pm 4. Έστω ακολουθία αριθμών και $S_m(x)=\sum_{k=1}^m c_k\cos (k\pi x)$ για $m=1,2,\ldots$ . Για κάθε $N\in \mathbb N$ ισχύει: $\displaystyle \int_{-1}^1 \max_{1\leq m\leq N}|S_m(x)|^2\, dx\leq C \log^2N \sum_{m=1}^N|c_m|^2$ , όπου είναι μια απόλυτη σταθερά.

Επαναφορά.

Μια σημείωση.
Η ανισότητα χωρίς το $\log^2N$ είναι στην ουσία το θεώρημα του Carleson
(η σειρά Fourier μιας $L^{2}$ συνάρτησης συγκλίνει σχεδόν παντού στην συνάρτηση)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Θα διατυπώσω το πρόβλημα στο $[-\pi ,\pi ]$
(για να υπάρχουν οι στάνταρ συμβολισμοί)

Εστω $f(x)=\sum_{k=1}^{N}a_{k}\cos kx$

όπου $a_{k}\in \mathbb{R}$ και

φυσικός

Θέτουμε $s_{m}(x)=\sum_{k=1}^{m}a_{k}\cos kx,1\leq m\leq N$

και μετά $S(x)=max\left \{ |s_{m}(x)|:1\leq m\leq N \right \}$

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει απόλυτη σταθερά C>0

ώστε

$\int_{-\pi }^{\pi }S^{2}(x)dx\leq C\log ^{2}N\int_{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)dx$

(είναι $\int_{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)dx=\pi \sum_{k=1}^{N}a_{k}^{2}$ )

ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Ο πυρήνας του Dirichlet είναι

$D_{k}(x)=\frac{1}{2}+\sum_{m=1}^{k}\cos kx=\frac{\sin (k+\frac{1}{2})x}{2\sin\frac{x}{2}}$

εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει

$D_{N}(x)\leq min(N+\frac{1}{2},\frac{\pi }{2|x|})$ (1)

Επίσης είναι εύκολο να δούμε ότι

$s_{m}(x)=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x-t)D_{m}(t)dt=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(t)D_{m}(x-t)dt$ (2)

Ειναι φανερό από τον ορισμό του S(x)

οτι υπάρχει μια συνάρτηση

$\eta :[-\pi ,\pi ]\rightarrow \left \{ 1,2,...N \right \}$

ώστε $S^2(x)=s^2_{\eta (x)}(x)$

Θα χρειαστούμε ότι $\int_{-\pi }^{\pi }|D_{n(x)}(x)|dx\leq C\ln N$ (3)

που προκύπτει λόγω της (1) ως εξής

$\int_{-\pi }^{\pi }|D_{n(x)}(x)|dx=\int _{|x|< \frac{1}{N}}+\int _{|x|\geq \frac{1}{N}}\leq C\ln N$

Συνεχίζεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Συνέχεια
Είναι
$\int_{-\pi }^{\pi }S^{2}(x)dx=\int_{-\pi }^{\pi }s_{\eta (x)}^{2}(x)dx=\int_{-\pi }^{\pi }s_{\eta (x)}(x)s_{\eta (x)}(x)dx$

$=\frac{1}{\pi ^{2}}\int_{-\pi }^{\pi } \int_{-\pi }^{\pi }f(t)D_{\eta (x)}(x-t)dt\int_{-\pi }^{\pi }f(s)D_{\eta (x)}(x-s)dsdx$

$\frac{1}{\pi ^{2}}\int_{-\pi }^{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(t)f(s)(\int_{-\pi }^{\pi } D_{\eta (x)}(x-t)D_{\eta (x)}(x-s)dx)dsdt$

Χρησιμοποιώντας την $f(t)f(s)\leq \frac{f^2(t)+f^2(s)}{2}$
το προηγούμενο ολοκλήρωμα είναι μικρότερο η ίσο από δύο ολοκληρώματα.
το πρώτο από αυτά είναι

$\frac{1}{\pi ^{2}}\int_{-\pi }^{\pi }f^2(t)(\int_{-\pi }^{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }| D_{\eta (x)}(x-t)||D_{\eta (x)}(x-s)|dxds) dt$ (5)

και ανάλογο το δεύτερο .

Αλλά
$\int_{-\pi }^{\pi }\int_{-\pi }^{\pi } |D_{\eta (x)}(x-t)||D_{\eta (x)}(x-s)|dxds= \int_{-\pi }^{\pi } |D_{\eta (x)}(x-t)|\int_{-\pi }^{\pi }|D_{\eta (x)}(x-s)|dsdx$

το τελευταίο χρησιμοποιώντας την (3)είναι μικρότερο η ίσο από

$\int_{-\pi }^{\pi } |D_{\eta (x)}(x-t)|\int_{-\pi }^{\pi }|D_{\eta (x)}(x-s)|dsdx\leq$
$\int_{-\pi }^{\pi } |D_{\eta (x)}(x-t)|C\log Ndx \leq C_{1}\log^2 N$

Η τελευταία αν αντικατασταθεί στην (5) και την ανάλογη της μας δίνει την ζητούμενη.

Να σημειώσω ότι με λίγη τροποποίηση η παραπάνω απόδειξη μπορεί να δώσει
$\log N$ αντί $\log^2 N$
Για να γίνει αυτό χρειάζεται η σχέση
$\left \| f \right \|_{2}=sup\left \{ \int_{-\pi }^{\pi }fg:\left \| g \right \|_{2} \leq 1\right \}$

σημείωση.Εγιναν κάποιες βελτιώσεις.

Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3

Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3

Re: Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3

Re: Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3

Re: Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3

Μέλη σε σύνδεση