Καμπυλόγραμμος ρόμβος

michmak · #1

Πάλαιψα πολύ και δεν κατάφερα να φτιάξω ένα σχήμα μολονότι για όσους ξέρουν να φτιάχνουν σχήματα είναι πολύ εύκολο (φαντάζομαι). Το πρόβλημα έχει ως εξής:

Έστω ένα τετράγωνο πλευράς 8. Με κέντρο κάθε κορυφή του και ακτίνα την πλευρά του κατασκευάζουμε τεταρτοκύκλια εντός του τετραγώνου. Σχηματίζονται έτσι δυό φύλλα ελιάς σε σχήμα χιαστί. Το αλληλοεπικαλυπτόμενο μέρος των φύλλων είναι ένας, ας πούμε, καμπυλόγραμμος ρόμβος. Να βρεθεί το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου αυτού ρόμβου.

Το έχω θέσει, προς προβληματισμό περισσότερο, στους μαθητές μου και ...αναμένω αποτελέσματα...

Ευχαρίστως να δεχθώ κάποιον να φτιάξει το παρόν σχήμα προς διευκόλυνση των μικρών αναγνωστών μας...

hlkampel · #2

michmak έγραψε:Πάλαιψα πολύ και δεν κατάφερα να φτιάξω ένα σχήμα μολονότι για όσους ξέρουν να φτιάχνουν σχήματα είναι πολύ εύκολο (φαντάζομαι).
Ευχαρίστως να δεχθώ κάποιον να φτιάξει το παρόν σχήμα προς διευκόλυνση των μικρών αναγνωστών μας...

Δεν είναι και το καλύτερο....

michmak · #3

Μια χαρά είναι! Ευχαριστώ πολύ!!

Αν θες σε π.μ. στείλε μου τι έκανες...

Μιχάλης

michmak · #4

Ας δώσω κι εγώ το δικό μου σχήμα με τη βοήθεια του αγαπητού Ηλία...

michmak · #5

Μια και βλέπω ακινησία ας δώσω μια πρώτη υπόδειξη. Το όλο σκεπτικό θα πρέπει να επικεντρωθεί στον υπολογισμό του μέρους του τετραγώνου που δεν καλύπτεται από κανένα από τα δύο φύλλα καθώς ο υπολογισμός του ενός μόνο φύλλου είναι σχετικά προσιτός.

parmenides51 · #6

μερικές λύσεις από το λύκειο εδώ, εδώ κι εδώ

michmak · #7

Ευχαριστώ πολύ τον Παρμενίδη για τα λίνκς με τις λύσεις που παρέθεσε μερικές από τις οποίες ήταν όντως εκπληκτικές!!!!!

Θα προσπαθήσω να δώσω κι εγώ μια δική μου επίλυση η οποία δεν απαιτεί τόσο μεγάλη "λεπτότητα" παρατηρήσεων και μοιάζει πιο "χονδροκομμένη" αλλά ίσως να είναι πιο κατανοητή για τους μικρούς μας φίλους...

Χρησιμοποιώ το σχήμα του αγαπητού Ηλία με τους συμβολισμούς του γιατί το δικό μου δεν ...κατάφερα να το κάνω να "φαίνεται" από πρώτης απόψεως...

Επειδή το εμβαδόν του ενός "φύλλου" είναι άσκηση στο σχολικό βιβλίο το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τετραγώνου θα προκύψει αν από το εμβαδόν των δύο φύλλων αφαιρέσουμε το εμβαδόν που καταλαμβάνουν όταν είναι αλληλοεπικαλυπτόμενα.

Έτσι το εμβαδόν του "φύλλου" είναι

$\displaystyle{2\pi 8^{2}\frac{90}{360}-8^{2}=64\left(\frac{\pi }{2}-1 \right)}$

όπως εύκολα αποδεικνύεται.

Αν καταφέρουμε να βρούμε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΕΒ τότε τετραπλασιάζοντας και αφαιρώντας από το τετράγωνο βρίσκουμε τι εμβαδόν καλύπτουν τα φύλλα όταν είναι αλληλοεπικαλυπτόμενα όπότε η διαφορά τους από το διπλάσιο του "φύλλου" είναι το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τετραγώνου.

Ένα τέτοιο καμπυλόγραμμο τρίγωνο είναι ότι απομένει από τα δύο αντικρυστά τεταρτοκύκλια (D,AC) και (C,BD) τα οποία έχουν το καθένα εμβαδόν

$\displaystyle{\frac{\pi 8^{2}}{4}=16\pi}$

και τα οποία έχουν κοινή περιοχή το καμπυλόγραμμο τρίγωνο DEC. Μένει να υπολογίσουμε το εμβαδόν του.

Επειδή αυτό το (ευθύγραμμο) τρίγωνο είναι ισόπλευρο το αντίστοιχο καμπυλόγραμμο θα αποτελείται από κυκλικό τομέα 60 μοιρών συν ένα από τα αντίστοιχα κυκλικά τμήματα. Είναι λοιπόν:

Ε(κ. τομέα DEC)= $\displaystyle{\frac{\pi 8^{2}}{6}=\frac{32\pi }{3}}$

και

Ε(ευθ. τριγώνου DEC)= $\displaystyle{16\sqrt{3}}$

οπότε

Ε(κ.τμήματος)= $\displaystyle{\frac{32\pi }{3}-16\sqrt{3}}$

Άρα τελικά το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου DEC θα είναι

$\displaystyle{\frac{64\pi }{3}-16\sqrt{3}}$ .

Συνεπώς το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΕΒ θα είναι αν από το τετράγωνο (64) αφαιρέσουμε τα δύο τεταρτοκύκλια

$\displaystyle{32\pi}$

και προσθέσουμε το καμπυλόγραμμο τρίγωνο

$\displaystyle{\frac{64\pi }{3}-16\sqrt{3}}$

που το έχουμε αφαιρέσει δύο φορές. Άρα:

Ε(καμπ. ΑΕΒ)= $\displaystyle{64-32\pi+\frac{64\pi }{3}-16\sqrt{3}=64-\frac{32\pi }{3}-16\sqrt{3}}$

Άρα το εμβαδόν που μένει από το τετράγωνο αν αφαιρέσουμε τέσσερα τέτοια τρίγωνα είναι:

$\displaystyle{64-4\left(64-\frac{32\pi }{3}-16\sqrt{3} \right)=64-64\left(4-\frac{2\pi }{3}-\sqrt{3} \right)=64\left(\frac{2\pi }{3}+\sqrt{3}-3 \right)}$

και αυτό είναι το μέρος του τετραγώνου που καταλαμβάνουν τα δύο "φύλλα" όταν αλληλοεπικαλύπτονται.

Άρα τελικά το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

$\displaystyle{2\left(64\left(\frac{\pi }{2}-1 \right) \right)-64\left(\frac{2\pi }{3}+\sqrt{3}-3 \right)=64\left(\pi +1-\frac{2\pi }{3}-\sqrt{3} \right)=64\left(\frac{\pi }{3}+1-\sqrt{3} \right)}$

αν έκανα καλά τις πράξεις...

Δεν είναι λιγότερο πολύπλοκος αυτός ο τρόπος, νομίζω όμως ότι διαισθητικά διευκολύνει περισσότερο το μαθητή να αντιληφθεί τη λύση.

Μιχάλης Μακρίδης

Ευχαριστώ τους διαχειριστές για τη μέγιστη βοήθειά τους. Τους είμαι πραγματικά ευγνώμων.

Καμπυλόγραμμος ρόμβος

Καμπυλόγραμμος ρόμβος

Re: Καμπυλόγραμμος ρόμβος

Re: Καμπυλόγραμμος ρόμβος

Re: Καμπυλόγραμμος ρόμβος

Re: Καμπυλόγραμμος ρόμβος

Re: Καμπυλόγραμμος ρόμβος

Re: Καμπυλόγραμμος ρόμβος

Μέλη σε σύνδεση