Καλό Χειμώνα! 11 υποερωτήματα σε άσκηση μιγαδικών

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Άσκηση Επαναληπτική – Μάκης Χατζόπουλος

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, $\displaystyle{z_1 = \sigma \upsilon \nu \alpha + i\eta \mu \alpha}$ , $\displaystyle{z_2 = \sigma \upsilon \nu \beta + i\eta \mu \beta}$ , $\displaystyle{z_3 = \sigma \upsilon \nu \gamma + i\eta \mu \gamma}$ .

Αν $\displaystyle{\eta \mu \alpha + \eta \mu \beta + \eta \mu \gamma = 0}$ και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \alpha + \sigma \upsilon \nu \beta + \sigma \upsilon \nu \gamma = 0}$ , και ν θετικός ακέραιος που δεν είναι πολλαπλάσιο του3, να δείξετε ότι:

i. $\displaystyle{\eta \mu 2\alpha + \eta \mu 2\beta + \eta \mu 2\gamma = 0}$ και $\displaystyle{ \sigma \upsilon \nu 2\alpha + \sigma \upsilon \nu 2\beta + \sigma \upsilon \nu 2\gamma = 0}$

ii. $\displaystyle{\eta \mu (\alpha + \beta ) + \eta \mu (\beta + \gamma ) + \eta \mu (\gamma + \alpha ) = 0}$ και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu (\alpha + \beta ) + \sigma \upsilon \nu (\beta + \gamma ) + \sigma \upsilon \nu (\gamma + \alpha ) = 0}$

iii. $\displaystyle{\eta \mu 3\alpha + \eta \mu 3\beta + \eta \mu 3\gamma = 3\eta \mu (\alpha + \beta + \gamma )}$ και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 3\alpha + \sigma \upsilon \nu 3\beta + \sigma \upsilon \nu 3\gamma = 3\sigma \upsilon \nu (\alpha + \beta + \gamma )}$

iv.Τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών, είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας ρ=1.

v. $\displaystyle{z_1 ^v + z_2 ^v + z_3 ^v = 0}$ και $\displaystyle{z_1 ^v z_2 ^v + z_3 ^v z_2 ^v + z_1 ^v z_3 ^v = 0}$

vi. $\displaystyle{\eta \mu \left( {v\alpha } \right) + \eta \mu \left( {v\beta } \right) + \eta \mu \left( {v\gamma } \right) = \sigma \upsilon \nu \left( {v\alpha } \right) + \sigma \upsilon \nu \left( {v\beta } \right) + \sigma \upsilon \nu \left( {v\gamma } \right) = 0}$

vii. $\displaystyle{\eta \mu \left[ {v(\alpha + \beta )} \right] + \eta \mu \left[ {v(\beta + \gamma )} \right] + \eta \mu \left[ {v(\gamma + \alpha )} \right] = 0}$
και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \left[ {v(\alpha + \beta )} \right] + \sigma \upsilon \nu \left[ {v(\beta + \gamma )} \right] + \sigma \upsilon \nu \left[ {v(\gamma + \alpha )} \right] = 0}$

viii. $\displaystyle{\frac{{z_1 ^2 }}{{z_2 z_3 }} + \frac{{z_2 ^2 }}{{z_3 z_1 }} + \frac{{z_3 ^2 }}{{z_1 z_2 }} = 0}$

ix. $\displaystyle{\eta \mu (2\alpha - \beta - \gamma ) + \eta \mu (2\beta - \gamma - \alpha ) + \eta \mu (2\gamma - \alpha ) = 0}$ και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu (2\alpha - \beta - \gamma ) + \sigma \upsilon \nu (2\beta - \gamma - \alpha ) + \sigma \upsilon \nu (2\gamma - \alpha ) = 3}$

x. $\displaystyle{\eta \mu ^2 \alpha + \eta \mu ^2 \beta + \eta \mu ^2 \gamma = \sigma \upsilon \nu ^2\alpha + \sigma \upsilon \nu ^2 \beta + \sigma \upsilon \nu ^2 \gamma = \frac{3}{2}}$

xi. $\displaystyle{\eta \mu ^3 \alpha + \eta \mu ^3 \beta + \eta \mu ^3 \gamma = \frac{{ - 3}}{4} \cdot \eta \mu (\alpha + \beta + \gamma )}$ και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu ^3 \alpha + \sigma \upsilon \nu ^3 \beta + \sigma \upsilon \nu ^3 \gamma = \frac{3}{4} \cdot \sigma \upsilon \nu (\alpha + \beta + \gamma )}$

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Μετά από το "Άλλα 16 ερωτήματα" του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑ, το " 16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ" του R BORIS, το "9 ερωτήματα" του tsoli, ήρθε η ώρα να επαναστατήσω...Όταν εγώ έδινα ασκήσεις με πολλά υποερωτήματα ήταν τότε ντεμοντέ;;; Έμεινε στα αναπάντητα ερωτήματα τόσο καιρό και νομίζω ότι ήρθε η ώρα να γίνει και αυτή!!Περιμένω...

Υ.Γ: Μόνο ο φίλος Socrates κατάλαβε την αξία αυτής της άσκησης και μου το είπε με π.μ, φίλε Socrates είσαι πολύ μπροστά!!

#3

Μάκη πραγματικά πολύ καλή άσκηση την οποία θυμάμαι αλλά μετά ξεχάστηκα να ασχοληθώ και έτσι έφυγε από την μνήμη...

Για τα παιδιά που δε διδάσκοντα την τριγωνομετρική μορφή να αναφέρουμε το εξής:

Λήμμα: Αν $\color{blue}z=r(\cos{x}+i\sin{x})$ ένας μιγαδικός αριθμός τότε είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι $\color{blue}z^2=r^2(\cos{2x}+i\sin{2x})$ και μετά επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε ότι $\color{blue}z^n=r^n(\cos{nx}+i\sin{nx})$ για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό $\color{blue}n\geq 2$ . Επίσης αν $\color{blue}z_1=r(\cos{a}+i\sin{b})$ και $\color{blue}z_2=s(\cos{b}+i\sin{b})$ τότε $\color{blue}z_1z_2=rs\left(\cos{(a+b)}+i\sin{(a+b)}\right)$ .

Επιστροφή στην άσκηση:

Για το

Οι συνθήκες $\displaystyle{\eta \mu \alpha + \eta \mu \beta + \eta \mu \gamma = 0}$ και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \alpha + \sigma \upsilon \nu \beta + \sigma \upsilon \nu \gamma = 0}$ είναι ισοδύναμες με τη σχέση $z_1+z_2+z_3=0 \ \ (1)$ . Επίσης |z_i|=1

για

άρα $\bar{z_i}=\displaystyle\frac{1}{z_i}$ για i=1,2,3

.

Παίρνοντας στην (1)

συζυγείς λαμβάνουμε $\displaystyle\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}=0$ δηλαδή $z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=0 \ \ (2)$ η οποία μας απαντάει στο (ii)

με τη βοήθεια του λήμματος παραπάνω.

Για το

Αν υψώσουμε στο τετράγωνο την (1)

και χρησιμοποιήσουμε τη (2)

παίρνουμε $z_1^2+z_2^2+z_3^2=0 \ \ (3)$ η οποία απαντάει στο ερώτημα (i)

.

Για το

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα (z_1+z_2+z_3)^3=z_1^3+z_2^3+z_3^3+3(z_1+z_2+z_3)(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)-3z_1z_2z_3

οπότε από τις (1),(2),(3)

παίρνουμε $z_1^3+z_2^3+z_3^3=3z_1z_2z_3 \ \ (4)$ που με τη βοήθεια του Λήμματος παίρνουμε το ζητούμενο.

Για το

Χρησιμοποιούμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου: |z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2=2|z_1|^2+|z_2|^2

. Σε συνδυασμό με την (1)

που δίνει

και τα μοναδιαία μέτρα των μιγαδικών z_1,z_2,z_3

παίρνουμε τελικά $|z_1-z_2|=\sqrt{3}$ και όμοια $|z_2-z_3|=|z_3-z_1|=\sqrt{3}$ . Άρα τελικά |z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|

δηλαδή το τρίγωνο με κορυφές τα z_1,z_2,z_3

είναι ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας

.

Για το

Αν πάρουμε $\nu=3r+1$ είτε $\nu=3r+2$ ( $r\geq 0$ ) προχωράμε με επαγωγή επί του

.

Για

ισχύει και στις δύο περιπτώσεις.
Έστω $r\geq 1$ και ας υποθέσουμε ότι ισχύει για r=k

δηλαδή αν $\nu=3k+1$ είτε $\nu=3k+2$ δηλαδή:

$\displaystyle{z_1 ^{3k+1} + z_2 ^{3k+1} + z_3 ^{3k+1} = 0} \ \ (5)$

αλλά και

$\displaystyle{z_1 ^{3k+2} + z_2 ^{3k+2} + z_3 ^{3k+2} = 0} \ \ (6)$ .

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει για r=k+1

δηλαδή για εκθέτη 3k+4

είτε

.

Θα κάνουμε χρήση της ταυτότητας

$\boxed{x^{n}+y^{n}+z^{n}=(x+y+z)\left(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1}\right)-(xy+yz+xz)\left(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2}\right)+xyz\left(x^{n-3}+y^{n-3}+z^{n-3}\right)}$

την οποία είχα αναφέρει κι εδώ (για να φανεί η χρησιμότητά της) οπότε έχουμε:

$\begin{aligned} z_1^{3k+4}+z_2^{3k+4}+z_3^{3k+4} &= (z_1+z_2+z_3)\left(z_1^{3k+3}+z_2^{3k+3}+z_3^{3k+3}\right)-(z_1z_2+z_2z_+z_1z_3)\left(z_1^{3k+2}+z_2^{3k+2}+z_3^{3k+2}\right) \\ &+ z_1z_2z_3\left(z_1^{3k+1}+z_2^{3k+1}+z_3^{3k+1}\right) \\ &\stackrel{(1),(2),(5)}{=}0 \end{aligned}$

Όμοια από την ίδια ταυτότητα αλλά αυτή τη φορά με τη βοήθεια των σχέσεων (1),(2),(6)

παίρνουμε τελικά $z_1^{3k+5}+z_2^{3k+5}+z_3^{3k+5}=0$ άρα τελικά

$z_1 ^{\nu} + z_2 ^{\nu} + z_3 ^{\nu} = 0$ για όλους τους φυσικούς αριθμούς $\nu$ που δεν είναι πολλαπλάσια του

.

Τέλος, παίρνοντας συζυγείς έχουμε:

$\displaystyle\frac{1}{z_1^{\nu}}+\displaystyle\frac{1}{z_2^{\nu}}+\displaystyle\frac{1}{z_2^{\nu}}=0$ δηλαδή τη δεύτερη ζητούμενη σχέση $z_1^{\nu} z_2^{\nu} + z_3^{\nu}z_2^{\nu} + z_1^{\nu} z_3^{\nu} = 0$ για όλους τους φυσικούς αριθμούς $\nu$ που δεν είναι πολλαπλάσια του

.

Για τα και

Δεν έχουμε να κάνουμε κάτι παραπάνω αφού είναι άμεσο πόρισμα του παραπάνω ερωτήματος και του Λήμματος.

Για το

(Εχει ένα μικρό τυπογραφικό αφού το αριστερό μέλος ισούται με το

και όχι

). Η σχέση αυτή προκύπτει άμεσα από τη σχέση (5)

αν διαιρέσουμε με $z_1z_2z_3\neq 0$ .

Για το

Είναι άμεσο πόρισμα της προηγούμενης σχέσης και του Λήμματος (από εκεί φαίνεται και το τυπογραφικό στο προηγούμενο ερώτημα).

Για το

Στην αρχή δείξαμε ότι: $\displaystyle{ \sigma \upsilon \nu 2\alpha + \sigma \upsilon \nu 2\beta + \sigma \upsilon \nu 2\gamma = 0}$ άρα αναπτύσσοντας τα συνημίτονα με τους γνωστούς τύπους διπλασίου τόξου παίρνουμε

$\eta \mu^2 \alpha + \eta \mu^2 \beta + \eta \mu^2 \gamma = \sigma \upsilon \nu^2 \alpha + \sigma \upsilon \nu^2 \beta + \sigma \upsilon \nu^2 \gamma$

Όμως $(\eta \mu^2 \alpha + \eta \mu^2 \beta + \eta \mu^2 \gamma ) + ( \sigma \upsilon \nu^2 \alpha + \sigma \upsilon \nu^2 \beta + \sigma \upsilon \nu^2 \gamma ) = 3$ οπότε κάθε μία από τις δύο αυτές παραστάσεις είναι ίση με $\displaystyle\frac{3}{2}$ .

Για το

Από τη σχέση $\displaystyle{\eta \mu 3\alpha + \eta \mu 3\beta + \eta \mu 3\gamma = 3\eta \mu (\alpha + \beta + \gamma )}$ που δείξαμε παραπάνω και από την γνωστή σχέση $\eta \mu x = 3\eta \mu x - 4 \eta \mu ^3 x$ και σε συνδυασμό με το ότι $\displaystyle{\eta \mu \alpha + \eta \mu \beta + \eta \mu \gamma = 0}$ παίρνουμε την πρώτη από τις ζητούμενες σχέσεις.

Τέλος από τη σχέση $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 3\alpha + \sigma \upsilon \nu 3\beta + \sigma \upsilon \nu 3\gamma = 3\sigma \upsilon \nu (\alpha + \beta + \gamma )}$ που δείξαμε παραπάνω και από την γνωστή σχέση $\sigma \upsilon \nu x =4 \sigma \upsilon \nu ^3 x - 3 \sigma \upsilon \nu x$ και σε συνδυασμό με το ότι $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \alpha + \sigma \upsilon \nu \beta + \sigma \upsilon \nu \gamma = 0}$ παίρνουμε την δεύτερη από τις ζητούμενες σχέσεις.

Ουφ...

Αλέξανδρος

#4

Και ένα επιπλέον ερώτημα που βρήκα μόλις τώρα:

Εαν ο φυσικός αριθμός

είναι θετικό πολλαπλάσιο του

(με τα ίδια δεδομένα) να αποδειχθεί το αντίστοιχο του ερωτήματος (vi) που υπάρχει παραπάνω:

$\cos{n\alpha}+\cos{n\beta}+\cos{n\gamma}=3\cos{\left[n\left(\displaystyle\frac{a+b+c}{3}\right)\right]}$ και

$\sin{n\alpha}+\sin{n\beta}+\sin{n\gamma}=3\sin{\left[n\left(\displaystyle\frac{a+b+c}{3}\right)\right]}$

(Για n=3

το έχουμε αποδείξει ήδη στο ερώτημα (iii)

στην παραπάνω άσκηση)

Αλέξανδρος

Μάκης Χατζόπουλος · #5

Αλέξανδρε, και δεκτό το extra ερώτημα!

Καλό Χειμώνα! 11 υποερωτήματα σε άσκηση μιγαδικών

Καλό Χειμώνα! 11 υποερωτήματα σε άσκηση μιγαδικών

Re: Καλό Χειμώνα! 11 υποερωτήματα σε άσκηση μιγαδικών

Re: Καλό Χειμώνα! 11 υποερωτήματα σε άσκηση μιγαδικών

Re: Καλό Χειμώνα! 11 υποερωτήματα σε άσκηση μιγαδικών

Re: Καλό Χειμώνα! 11 υποερωτήματα σε άσκηση μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση