Ολοκλήρωμα με σύνθεση

Plutarch · #1

Υποθέστε ότι f και g είναι διαφορίσιμες συναρτήσεις που επαληθεύουν την σχέση $\int_{0}^{f(x)}{fg}=g(f(x))$ . Δείξτε ότι g(0)=0

timos · #2

Η άσκηση υπάρχει στο βιβλίο του Καζαντζή (ολοκληρώματα 505 άσκηση) αλλά στίς λύσεις η εκφώνηση είναι συμπληρωμένη με την προυπόθεση f(1)f(2)<0

Plutarch · #3

Στο βιβλίο που την είδα είναι ακριβώς όπως την έγραψα. Αλλά ίσως είναι λάθος γιατί δεν είναι η πρώτη φορά που συναντάω λάθος στο συγκεκριμένο βιβλίο. Με την προϋπόθεση αυτή πάντως γίνεται απλούστατη.

mathxl · #4

Ας είναι

μία αρχική συνάρτηση του συνεχούς γινομένου fg , ώστε A'(u) = f(u)g(u)

και

Τότε $\int\limits_{0}^{f\left( x\right)}{f\left( t\right)g\left( t\right)dt}= A(f(x))-A(0) = g(f(x))$
Που σημαίνει ότι A(x) = g(x)

για όλα τα χ που ανήκουν στο σύνολο τιμών της f, άρα αν βάλουμε όπου Α την g, έχουμε g'(x) = f(x)g(x)

η οποία αν πολλαπλασιαστεί με $e^{F}$ (η F είναι μια αρχική της f) δίνει μία κλασσική διαφορική που έχει ως λύση $g(x) = c e^{F(x)}$ . Αξιοποιώντας ότι g(0)=A(0)=0 βρίσκουμε g(x)=0 για μπόλικα χ(αυτά που ανήκουν στο σύνολο τιμών της f) και όχι μόνο για το 0

Τέτοια άσκηση έχει ο spivak μόνο που ζητάει την συνάρτηση g και την είχα θέσει στο μαθλινκς. Η απάντηση που πήρα ήταν σαν αυτήν που έδωσα

Plutarch · #5

Αυτό που με προβληματίζει είναι ότι γίνεται η παραδοχή ότι το 0 ανήκει στο Π.Τ της f, για να ισχύει το Α(0)=g(0). Αν το γνωρίζουμε αυτό τότε δεν χρειάζεται όλη αυτή η διαδικασία αφού θα υπάρχει $x_{0}\epsilon D_{f}:f(x_{0})=0$ έτσι αν στην αρχική σχέση θέσω

= $x_{0}$ ,έχω το ζητούμενο.
Την άσκηση εκεί την έχω δει όπως και 1-2 προηγούμενες που έχω γράψει. Αυτή υπάρχει στην 2η έκδοση που έχει μεταφραστεί και εκδοθεί από τις Π.Ε.Κ όχι όμως στην 3η. Αυτό με βάζει σε σκέψεις...

mathxl · #6

Plutarch έγραψε:Αυτό που με προβληματίζει είναι ότι γίνεται η παραδοχή ότι το 0 ανήκει στο Π.Τ της f, για να ισχύει το Α(0)=g(0).

Σωστή η παρατήρηση σου

Ολοκλήρωμα με σύνθεση

Ολοκλήρωμα με σύνθεση

Re: Ολοκλήρωμα με σύνθεση

Re: Ολοκλήρωμα με σύνθεση

Re: Ολοκλήρωμα με σύνθεση

Re: Ολοκλήρωμα με σύνθεση

Re: Ολοκλήρωμα με σύνθεση

Μέλη σε σύνδεση