Άλλη μια...

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε f( f(x) + xf(y) ) = 3f(x) + 4xy ,

για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$

tasosty · #2

Έστω $f(a)=f(b) \Rightarrow f(1)+f(a)=f(1)+f(b) \Rightarrow$
$f(f(1)+f(a))=f(f(1)+f(b)) \Rightarrow 3f(1)+4a=3f(1)+4b \Rightarrow a=b$
$\Rightarrow f:1\rightarrow 1$

Aπό (*)

για $x=y=-1 \Rightarrow f(0)=3f(-1)+4$ (1)

Aπό

για $x=0 \Rightarrow f(f(0))=3f(0)$ (2)

Aπό

για $x=f(0),y=-9/4 \Rightarrow f(f(f(0))+f(0)f(-9/4))=3f(f(0))-9f(0) (3)$

Από (2)

και

$\Rightarrow f(f(0)[f(-9/4)+3])=0$

$a=f(0)[f(-9/4)+3] \Rightarrow f(a)=0$

$x=y=a \Rightarrow f(0)=4a^2$

$y=0,x=a \Rightarrow f(af(0))=f(4a^3)=0 \Rightarrow 4a^3=a$ (αφού η f είναι ένα προς ένα) $\Rightarrow a=0$ ή a=1/2

ή

$\Rightarrow f(0)=0$ ή f(0)=1

Aν $a=1/2 \Leftrightarrow f(0)=1,f(1/2)=0$ τότε

Από $(1) \Rightarrow f(-1)=-1$

Aπό (*)

για $x=-1,y=1/2 \Rightarrow$ $f(f(-1))=3f(-1)-2\Rightarrow -1=-5$ άτοπο

Αν $a=0 \Leftrightarrow f(0)=0$ τότε

Από (*)

για $y=0 \Rightarrow f(f(x))=3f(x) (4)$

Aπό $(1)\Rightarrow f(-1)=-4/3$

Από (*),(4)

για $x=-1 \Rightarrow f(f(-1)-f(y))=3f(-1)-4y \Rightarrow f(-4/3-f(y))=-4-4y \Rightarrow f(-4-4y)=f(f(-4/3-f(y)))=3(-4-4y) \Rightarrow f(y)=3y$
που δεν ικανοποιεί την αρχική

$\Rightarrow a=-1/2$

f(-1/2)=0,f(0)=1,f(1)=3,f(-1)=-1

Από

για $x=1 \Rightarrow f(3+f(y))=9+4y \Rightarrow$ η f είναι επί

Από (*)

για $y=-1/2 \Rightarrow f(f(x))=3f(x)-2x (5)$

Από (*)

για $x=-1/2 \Rightarrow f(-f(y)/2)=-2y     (6)$
μέχρι εδώ καλά! για τις επόμενες 3 γραμμές δεν είμαι σίγουρος...

$\lim_{y\rightarrow0^+}[-2y]=\lim_{y\rightarrow0^-}[-2y]=0$

Aπό (6) $\Rightarrow \lim_{y\rightarrow0^+}[f(-f(y)/2)]=\lim_{y\rightarrow0^-}[f(-f(y)/2)]=f(-1/2)$

και αφου f 1 προς 1 $f(0^-)=f(0^+)=1 \Rightarrow$ η f είναι συνεχής στο 0

Από $(5),(6) \Rightarrow f(f(x))=3f(x)+f(-f(x)/2)   (7)$ ,αφού η f είναι επί μπορούμε να θέσουμε y=f(x) στην (7) τότε:

                             f(y)-f(-y/2)=3y

$y \rightarrow -y/2 \Rightarrow f(-y/2)-f(y/4)=-3y/2$
$y \rightarrow -y/2 \Rightarrow f(y/4)-f(-y/8)=3y/4$
.
.
.
$y \rightarrow -y/2 \Rightarrow f(y/2^n)-f(-y/2^{n+1})=3y/2^n$

Όταν το ν $\rightarrow$ οο προσθέτοντας τις πιο πάνω σχέσεις παίρνουμε $f(y)-f(-y/2^{n+1})=2y$ αλλά αφού η f είναι συνεχής στο 0 τότε f(-y/oo)=f(0)=1

$\Rightarrow f(x)=2x+1$

#3

Τάσο μου φαίνεται πως κάτι δεν πάει καλά στα τελευταία βήματα της λύσης σου. Θέλει όμως χρόνο για να το ψάξω και τώρα δεν τον διαθέτω.

Αν είναι κάποιος διαθέσιμος ας το κοιτάξει.

Μία προσπάθεια να ολοκληρωθούν τα αποτελέσματα του Τάσου:

Χρησιμοποιώ το $\displaystyle{f\left(-\frac {1}{2}\right)=0}$ και $\displaystyle{f(-1)=-1}$

Η αρχική για $\displaystyle{y=-\frac {1}{2}}$ γίνεται $\displaystyle{\boxed{f(f(x))=3f(x)-2x,\ \forall x \in \Bbb{R}}}$ ( $\star$ )

Από το επί της συνάρτησης έχουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{u \in \Bbb{R}}$ ώστε $\displaystyle{f(u)=-x-1}$

Η αρχική για $\displaystyle{x=-1}$ και $\displaystyle{y=u}$ γίνεται $\displaystyle{f(x)=-3-4u \Rightarrow u=-\frac {3+f(x)}{4} \Rightarrow f\left(-\frac {3+f(x)}{4}\right)=-x-1}$

Άρα $\displaystyle{f\left(f\left(-\frac {-3-f(x)}{4}\right)\right)=f(-x-1)}$ και, λόγω της ( $\star$ ) μετά από πράξεις έχουμε

$\displaystyle{2f(-x-1)-f(x)=-6x-3,\ \forall x \in \Bbb{R}}$ ( $\bullet$ )

Η ( $\bullet$ ) αν στη θέση του $\displaystyle{x}$ βάλουμε $\displaystyle{-x-1}$ έχουμε

$\displaystyle{2f(x)-f(-x-1)=6x+3,\ \forall x \in \Bbb{R}}$ ( $\bullet \bullet$ )

Από τις ( $\bullet$ ) και ( $\bullet \bullet$ ) έχουμε $\displaystyle{\boxed{f(x)=2x+1,\ \forall x \in \Bbb{R}}}$

#4

Πολύ ωραία Σπύρο!!

#5

Η πηγή:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=479703

Άλλη μια...

Άλλη μια...

Re: Άλλη μια...

Re: Άλλη μια...

Re: Άλλη μια...

Re: Άλλη μια...

Μέλη σε σύνδεση