Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Άβαταρ μέλους
Γενικοί Συντονιστές
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 494
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 13, 2009 12:52 am

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 27, 2012 10:36 pm

Αγαπητοί φίλοι,
Στο θέμα αυτό αποκλειστικά θα συζητήσουμε τα αυριανά θέματα των Μαθηματικών Κατεύθυνσης.

Αμέσως μόλις τα θέματα αναρτηθούν στο διαδίκτυο από το Υπουργείο Παιδείας, θα τα αναρτήσουμε κι εδώ και θα ξεκλειδωθεί το θέμα ώστε να αρχίσει ο σχολιασμός τους.


Οι Γενικοί Συντονιστές του mathematica
Άβαταρ μέλους
Γενικοί Συντονιστές
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 494
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 13, 2009 12:52 am

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Μάιος 28, 2012 10:46 am

them_mat_kat_c_hmer_no_1206.pdf
(208.1 KiB) Μεταφορτώθηκε 807 φορές


Οι Γενικοί Συντονιστές του mathematica
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Μάιος 28, 2012 10:59 am

Να ξεκινήσουμε με τα Σωστά - Λάθος

Σ, Σ, Λ, Λ, Λ


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Μάιος 28, 2012 11:00 am

Την ελάχιστη τιμή του \displaystyle{\left| w \right|} την θέλουν με Γεωμετρική εποπτεία (ότι είναι ο μικρός άξονας) ή με μελέτη; Είναι γνωστό ότι οι κορυφές \displaystyle{B\left( {0,\beta } \right),\,B'\left( {0, - \beta } \right)} απέχουν ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων;


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
tsalikdimd
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Τρί Δεκ 30, 2008 11:41 pm
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tsalikdimd » Δευ Μάιος 28, 2012 11:14 am

Πιστεύω πως και η γεωμετρική ερμηνεία είναι δεκτή. Άλλωστε το έχουμε ξαναδεί το έργο. Την γεωμετρική λύση σε παλιότερα θέματα την κάναν δεκτή


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Μάιος 28, 2012 11:26 am

Το θέμα Δ είναι αρκετά ".......".


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
dopfev
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 29, 2011 5:59 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dopfev » Δευ Μάιος 28, 2012 11:30 am

Το θέμα Γ) 3. λύνεται με Rolle; Δεν βγαίνει το θεώρημα Rolle...


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Μάιος 28, 2012 11:30 am

dopfev έγραψε:Το θέμα Γ) 3. λύνεται με Rolle; Δεν βγαίνει το θεώρημα Rolle...
Με θεώρημα Bolzano


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
dopfev
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 29, 2011 5:59 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dopfev » Δευ Μάιος 28, 2012 11:31 am

Λάθος...βγαίνει και παραβγαίνει


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Μάιος 28, 2012 11:32 am

Με θεώρημα Rolle στην H(x)=e^xf(x)-2012e^x.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
pastavr
Δημοσιεύσεις: 142
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 5:50 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pastavr » Δευ Μάιος 28, 2012 11:34 am

βγαίνει με Rolle στην \displaystyle{h(x) = (f(x) - 2012){e^x}}


Παύλος Σταυρόπουλος
vikidario
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 19, 2009 8:55 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vikidario » Δευ Μάιος 28, 2012 11:37 am

και bolzano


perpant
Δημοσιεύσεις: 457
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Δευ Μάιος 28, 2012 11:38 am

Για το Γ3 Θ. Rolle για την \displaystyle{ 
h\left( x \right) = f\left( x \right)e^x  - 2012e^x  
}
στο \displaystyle{ 
\left[ {x_1 ,x_2 } \right] 
}


Παντούλας Περικλής
mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 503
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Δευ Μάιος 28, 2012 11:38 am

Το Δ1 μου φαίνεται κακοδιατυπωμένο . Μπορούμε να βγάλουμε την fχωρίς να δείξουμε ότι είναι παραγωγίσιμη . Ή μου ξεφεύγει κάτι ;
Από την ανισοτική σχέση με Θ.Fermat βρίσκω f(1)=-\frac{1}{e} και επειδή η fδιατηρεί πρόσημο , είναι f(x)<0 .
Οπότε στην άλλη δεδομένη σχέση αν θέσω G(x)=\frac{lnx-x}{f(x)} βγίνει εύκολα η f .

Αθ. Μπεληγιάννης
τελευταία επεξεργασία από mathfinder σε Δευ Μάιος 28, 2012 11:43 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Never stop learning , because life never stops teaching.
john.kastoris
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 8:39 pm
Τοποθεσία: Φουρνά Ευρυτανίας

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από john.kastoris » Δευ Μάιος 28, 2012 11:42 am

ναι βγαινει χωρίς να αποδείξουμε οτι είναι παραγωγίσιμη!!
Εκτός αν κατι δεν βλέπω
το Δ3 με jensen
και το Δ4 με bolzano


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4597
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Μάιος 28, 2012 11:43 am

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Την ελάχιστη τιμή του \displaystyle{\left| w \right|} την θέλουν με Γεωμετρική εποπτεία (ότι είναι ο μικρός άξονας) ή με μελέτη; Είναι γνωστό ότι οι κορυφές \displaystyle{B\left( {0,\beta } \right),\,B'\left( {0, - \beta } \right)} απέχουν ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων;
Μάκη, δεν ξέρω αν θα μπορούσαμε "αναίμακτα" να ισχυριστούμε κάτι τέτοιο.

(Edit: ή τουλάχιστον να αναφέρουμε ότι το μήκος κάθε διαμέτρου έλλειψης είναι μεταξύ μικρού και μεγάλου άξονα (ιδιότητες έλλειψης στο βιβλίο κατεύθυνσης σελ. 104)).

Φαντάζομαι μια προσέγγιση θα μπορούσε να είναι


Έστω \displaystyle 
w = x + yi,\;\;x,y \in R


Είναι \displaystyle 
\frac{{x^2 }}{9} + \frac{{y^2 }}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x^2  + 9y^2  = 36


Είναι \displaystyle 
\left| w \right| = \sqrt {x^2  + y^2 }


Είναι \displaystyle 
x^2  + y^2  = \frac{1}{4}\left( {4x^2  + 4y^2 } \right) = \frac{{4x^2  + 9y^2  - 5y^2 }}{4} = 9 - \frac{5}{4}y^2  \le 9
με το ίσον να ισχύει όταν \displaystyle 
y = 0 \Rightarrow w =  \pm 3


Όταν το υπόριζο παίρνει τη μέγιστη τιμή και η τετραγωνική ρίζα παίρνει τη μέγιστη τιμή.
Οπότε το μέτρο του w παίρνει τη μέγιστη τιμή \displaystyle 
\left| w \right| = 3 όταν \displaystyle 
w = 3\;\; \vee \;\;w =  - 3


Επίσης \displaystyle 
x^2  + y^2  = \frac{1}{9}\left( {9x^2  + 9y^2 } \right) = \frac{{4x^2  + 9y^2  + 5x^2 }}{9} = 4 + \frac{5}{9}x^2  \ge 4 με το ίσον να ισχύει όταν \displaystyle 
x = 0 \Rightarrow w =  \pm 2i


Όταν το υπόριζο παίρνει την ελάχιστη τιμή και η τετραγωνική ρίζα παίρνει την ελάχιστη τιμή.
Οπότε το μέτρο του w παίρνει την ελάχιστη τιμή \displaystyle 
\left| w \right| = 2 όταν \displaystyle 
w = 2i\;\; \vee \;\;w =  - 2i


tsalikdimd
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Τρί Δεκ 30, 2008 11:41 pm
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tsalikdimd » Δευ Μάιος 28, 2012 11:43 am

Αφού δείξεις ότι η f είναι αρνητική βγάζεις το απόλυτο. Κατόπιν λόγω της συνέχειας της f το ολοκλήρωμα είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση. Επειδή και το 1ο μέλος της δοθείσας εξίσωσης είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση έπεται ότι και η f είναι παραγωγίσιμη


perpant
Δημοσιεύσεις: 457
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Δευ Μάιος 28, 2012 11:45 am

Το Δ3 με 2 ΘΜΤ στα \displaystyle{\left[ {x,2x} \right]} και \displaystyle{\left[ {2x,3x} \right]} και μονοτονία της \displaystyle{F'}


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Μάιος 28, 2012 11:45 am

μερικές υποδείξεις

Δ2. με αλλαγή μεταβλητης \displaystyle{\frac{1}{f(x)}=y}, και del'hospital στο μηδέν αφού γίνουν ομώνυμα τα κλάσματα
Δ3. \displaystyle{\frac{F(3x)-F(2x)}{3x-2x}>\frac{F(2x)-F(x)}{2x-x}} και 2 ΘΜΤ στα \displaystyle{[x,2x],[2x,3x]} για την κυρτή \displaystyle{F(x)}
Δ4. η ύπαρξη με Θ.Bolzano στην \displaystyle{g(x)=F(\beta)+F(3\beta)-2F(x)} στο \displaystyle{(\beta,2\beta)}

διορθώθηκε από εδω και κάτω, ήταν αναποδα όλες οι φορές

\displaystyle{g(\beta)<0}
\displaystyle{g(2\beta)=F(\beta)-F(2\beta)+F(3\beta)-F(2\beta)=-f(\xi_1)(2\beta-\beta)+f(\xi_2)(3\beta-2\beta)>0} από ΘΜΤ στα \displaystyle{[\beta,2\beta],[2\beta,3\beta]} για την κυρτή \displaystyle{F(x)} (ή από το Δ3 πιο σύντομα)

η μοναδικότητα με μονοτονία της \displaystyle{g} αφού \displaystyle{g'(x)>0}

ξέχασα να βάλω αρχικά το κλάσμα στο Δ2
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Δευ Μάιος 28, 2012 12:44 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Μάιος 28, 2012 11:47 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Την ελάχιστη τιμή του \displaystyle{\left| w \right|} την θέλουν με Γεωμετρική εποπτεία (ότι είναι ο μικρός άξονας) ή με μελέτη; Είναι γνωστό ότι οι κορυφές \displaystyle{B\left( {0,\beta } \right),\,B'\left( {0, - \beta } \right)} απέχουν ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων;
Μάκη, δεν ξέρω αν θα μπορούσαμε "αναίμακτα" να ισχυριστούμε κάτι τέτοιο.

Φαντάζομαι μια προσέγγιση θα μπορούσε να είναι


Έστω \displaystyle 
w = x + yi,\;\;x,y \in R


Είναι \displaystyle 
\frac{{x^2 }}{9} + \frac{{y^2 }}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x^2  + 9y^2  = 36


Είναι \displaystyle 
\left| w \right| = \sqrt {x^2  + y^2 }


Είναι \displaystyle 
x^2  + y^2  = \frac{1}{4}\left( {4x^2  + 4y^2 } \right) = \frac{{4x^2  + 9y^2  - 5y^2 }}{4} = 9 - \frac{5}{4}y^2  \le 9
με το ίσον να ισχύει όταν \displaystyle 
y = 0 \Rightarrow w =  \pm 3


Όταν το υπόριζο παίρνει τη μέγιστη τιμή και η τετραγωνική ρίζα παίρνει τη μέγιστη τιμή.
Οπότε το μέτρο του w παίρνει τη μέγιστη τιμή \displaystyle 
\left| w \right| = 3 όταν \displaystyle 
w = 3\;\; \vee \;\;w =  - 3


Επίσης \displaystyle 
x^2  + y^2  = \frac{1}{9}\left( {9x^2  + 9y^2 } \right) = \frac{{4x^2  + 9y^2  + 5x^2 }}{9} = 4 + \frac{5}{9}x^2  \ge 4 με το ίσον να ισχύει όταν \displaystyle 
x = 0 \Rightarrow w =  \pm 2i


Όταν το υπόριζο παίρνει την ελάχιστη τιμή και η τετραγωνική ρίζα παίρνει την ελάχιστη τιμή.
Οπότε το μέτρο του w παίρνει την ελάχιστη τιμή \displaystyle 
\left| w \right| = 2 όταν \displaystyle 
w = 2i\;\; \vee \;\;w =  - 2i
Γιώργο για αυτό ρώτησα, αν θέλανε αυτή την απόδειξη (υπάρχει και άλλη, με μελέτη συνάρτηση της απόστασης) τότε έχει ξεφύγει το θέμα, αλλιώς καλά πάει...


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Απάντηση

Επιστροφή σε “Πανελλήνιες Εξετάσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες