ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ 2012

ioakim · #1

πως λύνοται το θεμα 4γ και το θεμα 5 του μερους Β

#2

Το 4γ)

Στο β) υπολογίσαμε $\displaystyle{A=\frac{a}{2}.}$

Δες τώρα ότι

$\displaystyle{G=\int_{0}^{1}\frac{e^x+1}{e^x+2+e^{1-x}}}$ δηλαδή είναι της παραπάνω μορφής με $\displaystyle{f(x)=e^x+1}$ και $\displaystyle{a=1.}$

Άρα $\displaystyle{G=\frac{1}{2}.}$

#3

Δε γνωρίζω το σύστημα στην Κύπρο, ούτε αν τα θέματα ανταποκρίνονται σε ύλη που διδάσκεται σε μια μόνο τάξη (την τελευταία).
Όμως, με μια γρήγορη ματιά, βλέπω ότι καλύπτουν ένα αρκετά ευρύ πεδίο μαθηματικών εννοιών χωρίς να υπάρχουν ακραία θέματα.
Μου αρέσει αυτό το στυλ.
Βέβαια, θα μου πείτε αν η άσκηση δεν έχει εφαρμογή του ΘΜΤ περί τις 7 φορές δεν έχει γούστο. Έτσι δεν είναι;

#4

Κάθε φορά που βλέπω ερώτημα με εφαρμογή του ΘΜΤ 5-6 φορές ή (ακόμη χειρότερα) άκομψο συνδυασμό κεφαλαίων ώστε να βγει ένα δύσκολο "συνδυαστικό" πρόβλημα θυμάμαι "Της μόδας τα καμώματα" του αείμνηστου δασκάλου μου Χάρη Βαφειάδη από το περιοδικό "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ" που εξέδιδε. Το άρθρο (ευτυχώς) το έχει μεταφέρει ο Λεωνίδας Θαρραλίδης στην παραπάνω ιστοσελίδα και αξίζει να το διαβάσετε!

Αλέξανδρος

styt_geia · #5

Για την 5η άσκηση
Έστω $I,\Theta$ τα μέσα των $AB,B\Gamma$ αντίστοιχα. H $\widehat{IBH}$ είναι εξωτερική γωνία στο τρίγωνο ZIB

οπότε:
$\widehat{IBH}=\theta+\frac{\pi-\theta}{2}$ και $\widehat{\Theta BH}=\widehat{IBH}-\frac{\pi}{2}=\frac{\theta}{2}$
Συνεπώς $\widehat{B \Theta H}=\pi-\theta$ . Επίσης για τα εμβαδά των τριγώνων ZIB

και $B \Theta H$ έχουμε

$\displaystyle (ZIB)=\frac{1}{2}a^2\sin \theta$
$\displaystyle (B \Theta H)=\frac{1}{2}b^2 \sin(\pi -\theta)=\frac{1}{2}b^2 \sin \theta$

Tελικά το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν γράφεται σαν συνάρτηση του $\theta$ ως εξής:

$\displaystyle E(\theta)=\left(\frac{1}{2}a^2\theta-\frac{1}{2}a^2\sin \theta \right)+ \left(\frac{1}{2}b^2(\pi-\theta)-\frac{1}{2}b^2\sin \theta \right),\,\,\theta \in [0,\pi]$

Εύκολα βρίσκουμε

$\displaystyle E'(\theta)>0 \Leftrightarrow \theta>\arccos \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$
$\displaystyle E'(\theta)<0 \Leftrightarrow \theta<\arccos \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$

Άρα η $E(\theta)$ παρουσιάζει ελάχιστο για $\displaystyle \theta_{\epsilon \lambda}=\arccos \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$

Τέλος αν $AB=B\Gamma$ τότε a=b

οπότε $\displaystyle \theta_{\epsilon \lambda}=\arccos 0=\frac{\pi}{2}$

erxmer · #6

Εδώ όλα τα φετινά θέματα. Οι λύσεις τους δημοσιεύονται σταδιακά.

nikolaos p. · #7

Πολύ καλά θέματα με ευρύτητα και χωρίς υπερβολές!

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ 2012

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ 2012

Re: ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ 2012

Re: ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ 2012

Re: ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ 2012

Re: ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ 2012

Re: ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ 2012

Re: ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ 2012

Μέλη σε σύνδεση