Ανισότητες με αριθμούς... και όχι μόνο

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Ανισότητες με αριθμούς... και όχι μόνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Σάβ Σεπ 05, 2009 5:10 pm

1. Αν 0<a,b<1, τότε a^b+b^a>1.

2.(Ανισότητα Jordan) Αν 0<x<\frac{\pi}{2}, τότε \displaystyle {\frac{2}{\pi}<\frac{\sin x}{x} <1}.

3.(Ανισότητα Αριστάρχου) Αν 0<a<b<\frac{\pi}{2}, τότε \displaystyle{\frac{a}{b}<\frac{\sin a}{\sin b}<\frac{\pi}{2}\cdot \frac{a}{b} }

3. (Ανισότητες Huygens) (α) Αν 0<x<\frac{\pi}{2}, τότε 2\sin x+\tan x>3x.

(β) Αν x>0, τότε x(2+\cos x)>3\sin x.

4. (Ανισότητα Κepler) Αν 0<x<y τότε \displaystyle{ \sqrt{xy}<\frac{x-y}{\ln x-\ln y}<\frac{x+y}{2} } και άρα το "\xi" που προκύπτει από το ΘΜΤ, για την t\mapsto \ln t, στο διάστημα [x,y] κείται πιο συγκεκριμένα στο υποδιάστημα (\sqrt{xy},\frac{x+y}{2}).

5. (Ανισότητα Polya) Αυτή βελτιώνει το άνω φράγμα στην ανισότητα του Κepler: αν 0<x<y τότε \displaystyle{ \frac{x-y}{\ln x-\ln y}<\frac{1}{2}\left(\sqrt{xy}+\frac{x+y}{2}\right) }.

6. Αν x,y>0 και a\in \mathbb R, να αποδείξετε ότι: \displaystyle {x^{\sin^2 a}\cdot y^{\cos^2 a}<x+y }.

7. Αν a,b\in \mathbb R, τότε \displaystyle{ e^{\frac{a+b}{2}}<\frac{e^a-e^b}{a-b}<\frac{e^a+e^b}{2} }.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8644
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητες με αριθμούς... και όχι μόνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Σεπ 06, 2009 12:11 am

Την (1) την έχουμε συζητήσει και εδώ.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8644
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητες με αριθμούς... και όχι μόνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Οκτ 20, 2009 7:19 pm

Και αυτό το θέμα ξεχάστηκε.

Για τις (2) και (3) δείξτε ότι η \displaystyle{ \frac{\sin{x}}{x}} είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,\pi/2]. (Παραγωγίστε ξανά και ξανά.)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13484
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητες με αριθμούς... και όχι μόνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Οκτ 20, 2009 7:44 pm

Demetres έγραψε:
δείξτε ότι η \displaystyle{ \frac{\sin{x}}{x}} είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,\pi/2]. (Παραγωγίστε ξανά και ξανά.)
Ίσως έχω ξαναγράψει τα παρακάτω στο mathematica, δεν θυμάμαι, αλλά η επανάληψή τους δεν βλάπτει.

Το γεγονός ότι η \displaystyle{ \frac{\sin{x}}{x}} είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,\pi/2] ήταν γνωστό στην αρχαία Ελλάδα! Υπάρχει σε ισοδύναμη μορφή (χορδή κύκλου αντί ημίτονο) στο α' βιβλιο της Μεγίστης Σύνταξης του Πτολεμαίου. Η απόδειξη είναι απόλυτα γεωμετρική και καταπληκτική.

Η παρόμοια ιδιότητα ότι η \displaystyle{ \frac{\tan{x}}{x}} είναι γνησίως αύξουσα στο (0,\pi/2) ήταν επίσης γνωστή (σε ισοδύναμη μορφή) στην αρχαία Ελλάδα. Υπάρχει με απίθανη γεωμετρική απόδειξη στα Οπτικά του Ευκλείδη. Επίσης αναφέρεται χωρίς απόδειξη (και άρα "ευρέως γνωστό") στο Περί μεγεθών και αποστημάτων του Αριστάρχου.

Αξίζει να τα ερευνήσετε. Τα διδάσκω στους φοιτητές όταν κάνω Ιστορία των Μαθηματικών, αλλά οι πολλοί με ... αποφεύγουν. Στο μάθημα εγγράφονται μόνο τα ... άξια τέκνα του Ευκλείδη.

Φιλικά,

Μιχάλης.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2292
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητες με αριθμούς... και όχι μόνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Οκτ 21, 2009 9:07 am

3α) \displaystyle{f(x)=2sinx+tanx-3x ,0\le x<\pi /2}
Τότε \displaystyle{f'(x)=\frac{(cosx-1)^2(1+2cosx)}{cos^2x}>0 , f(0)=0}
Μονοτονία στο \displaystyle{(0,\pi /2)}...

3β)\displaystyle{f(x)=\frac{3sinx}{2+cosx}-x ,x\in R}
\displaystyle{f'(x)=-\frac{4sin^4(x/2)}{(2+cosx)^2}\le 0} τα σημεία μηδενισμού της παραγώγου είναι μεμονωμένα, άρα πάλι γνήσια μονοτονία για χ>0...

4)Θέτοντας \displaystyle{(y/x)=u,u>1} το αριστερό μέλος της αποδεικτέας γράφεται \displaystyle{\sqrt{u}<\frac{u-1}{lnu}\Leftrightarrow lnu<\sqrt{u}-\frac{1}{\sqrt{u}}}
για \displaystyle{\sqrt{u}=v>1} θέλουμε \displaystyle{2lnv<v-\frac{1}{v}} που πάλι προκύπτει εύκολα με την μονοτονία της κατάλληλης συνάρτησης για \displaystyle{v>1}
για το δεξί μέλος εργαζόμαστε όμοια (δεν απαιτείται η εισαγωγή του \displaystyle{v})

5)εργαζόμαστε όμοια, όπως στο αριστερό μέλος της 4
Καταλήγουμε να θέλουμε \displaystyle{4\frac{v-1}{v+1}>lnv...}

6)Με \displaystyle{0\le A=sin^2a\le 1 , x/y=u\ge 1} η αποδεικτέα γίνεται \displaystyle{u^A<1+u}
Προκύπτει από κυρτότητα την εξίσωση εφαπτομένης στο 1 της \displaystyle{u^A}

7) είναι η 4) για \displaystyle{x=e^a,y=e^b}


peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Ανισότητες με αριθμούς... και όχι μόνο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Πέμ Οκτ 22, 2009 6:53 pm

Άσκηση 8. Αν 0<x<\frac{\pi}{2}, τότε: \displaystyle \frac{x+1}{x}<\frac{\ln(1-\sin x)}{\ln(\cos x)}<\frac{x+2}{x}.

Άσκηση 9. Έστω a_1,\ldots,a_n θετικοί ακέραιοι με a_i>1 για i=1,2,\ldots,n. Αποδείξτε ότι κάποιος από τους \sqrt[a_1]{a_2}, \, \sqrt[a_2]{a_3}, \ldots,\sqrt[a_n]{a_1} είναι μκρότερος ή ίσος του \sqrt[3]{3}.

Άσκηση 10. Έστω \theta \in \mathbb R και m,n\in \mathbb N. Αποδείξτε ότι \displaystyle \sin^{2n}\theta\cos^{2m}\theta\leq \frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6163
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητες με αριθμούς... και όχι μόνο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Οκτ 22, 2009 10:17 pm

peter έγραψε: Άσκηση 9. Έστω a_1,\ldots,a_n θετικοί ακέραιοι με a_i>1 για i=1,2,\ldots,n. Αποδείξτε ότι κάποιος από τους \sqrt[a_1]{a_2}, \, \sqrt[a_2]{a_3}, \ldots,\sqrt[a_n]{a_1} είναι μκρότερος ή ίσος του \sqrt[3]{3}.
Έστω \sqrt[a_1]{a_2}, \, \sqrt[a_2]{a_3}, \ldots,\sqrt[a_n]{a_1}>\sqrt[3]{3}.
Τότε \displaystyle{\frac{\ln{a_{i+1}}}{a_i}>\frac{\ln3}{3}, i=1,2,...,n και a_{n+1}=a_1} και έτσι \displaystyle{\prod_{i=1}^n \frac{\ln{a_i}}{a_i}>\left(\frac{\ln3}{3}\right)^n}.
Όμως η συνάρτηση \displaystyle{\frac{\ln{x}}{x}, x \in \mathbb{N}} παρουσιάζει μέγιστο για x=3 οπότε \displaystyle{\prod_{i=1}^n \frac{\ln{a_i}}{a_i}<\left(\frac{\ln3}{3}\right)^n}, άτοπο.
peter έγραψε: Άσκηση 10. Έστω \theta \in \mathbb R και m,n\in \mathbb N. Αποδείξτε ότι \displaystyle \sin^{2n}\theta\cos^{2m}\theta\leq \frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}.
Μια λύση υπάρχει εδώ.


Θανάσης Κοντογεώργης
peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Ανισότητες με αριθμούς... και όχι μόνο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Παρ Οκτ 23, 2009 4:06 pm

Άσκηση 11. Δίνονται a_2,\ldots,a_n>0 και s=a_2+\ldots+a_n. Δείξτε ότι: \displaystyle \sum_{k=2}^n a_k^{1-\frac{1}{k}}<s+2\sqrt{s}.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8644
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητες με αριθμούς... και όχι μόνο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Οκτ 23, 2009 5:13 pm

peter έγραψε: Άσκηση 10. Έστω \theta \in \mathbb R και m,n\in \mathbb N. Αποδείξτε ότι \displaystyle \sin^{2n}\theta\cos^{2m}\theta\leq \frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}.
Θέτουμε x = \sin^2 \theta και παραγωγίζοντας βλέπουμε ότι υπάρχει μέγιστο όταν x = n/(m+n).


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1315
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Ανισότητες με αριθμούς... και όχι μόνο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Οκτ 23, 2009 7:01 pm

peter έγραψε:Άσκηση 11. Δίνονται a_2,\ldots,a_n>0 και s=a_2+\ldots+a_n. Δείξτε ότι: \displaystyle \sum_{k=2}^n a_k^{1-\frac{1}{k}}<s+2\sqrt{s}.
Την αποδεικνύω στο ποστ 6 http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 92&t=99438
Παραπάνω με πιο κομψό τρόπο έχει αποδειχθεί μια πιο ανίσχυρη !


Σιλουανός Μπραζιτίκος
peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Ανισότητες με αριθμούς... και όχι μόνο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Σάβ Οκτ 24, 2009 12:13 am

Άσκηση 12. Έστω x_1,x_2,\ldots,x_n>0. Για κάθε 1\leq k\leq nθέτουμε A_k=\frac{1}{k}\sum_{j=1}^k x_j και G_k=(\prod_{j=1}^kx_j)^{1/k}. Αποδείξτε ότι:

(α) \displaystyle \left(\frac{A_k}{G_k}\right)^k\leq \left(\frac{A_{k+1}}{G_{k+1}}\right)^{k+1} για 1\leq k\leq n-1.

(β) k(A_k-G_k)\leq (k+1)(A_{k+1}-G_{k+1}) για 1\leq k\leq n-1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: gbaloglou και 1 επισκέπτης