Δίνονται δύο ...

S.E.Louridas · #1

Δίνονται δύο μη αμβλυγώνια τρίγωνα
$ABC,\; A_1B_1C_1$ με
$R=R_1,\; CA+CB=C_1A_1+C_1B_1,\; AD+ BE= A_1D_1+ B_1E_1$ ,
όπου R,R_1

οι ακτίνες των κύκλων $(ABC),\; (A_1B_1C_1)$ ,
$AD,\; BE$ ύψη του τριγώνου ABC

και

ύψη του τριγώνου A_1B_1C_1

.
Συγκρίνατε τα τρίγωνα $ABC,\; A_1B_1C_1$ .

S.E.Louridas · #2

Επιτρέψτε μου να αναφέρω σε hide την απάντηση λίγο πρίν ανεβάσω τη λύση, για να ασχοληθούν όσοι ενδιαφέρονται.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Σωτήρη σίγουρα; Μήπως πρέπει να δοθεί και κάποιο άλλο δεδομένο, π.χ. πως είναι οξυγώνια;

Βρίσκω ότι υπάρχουν δύο τύποι τέτοιων τριγώνων. (Δηλαδή αν έχουμε και ένα τρίτο που ικανοποιεί τις σχέσεις τότε δύο από αυτά είναι σίγουρα ίσα αλλά δεν είναι απαραίτητα και τα τρία ίσα.)

S.E.Louridas · #4

Ναί Δημήτρη πράγματι χρειαζόταν η φράση "μη αμβλυγώνια τρίγωνα", που εκ παραδρομής δεν έγραψα (*),
πράγμα που θα φανεί εξ' άλλου και από την ημέτερη διαπραγμάτευση γεύση της οποίας έχουμε σε άλλη πρόσφατη ταυτόσημη διαπραγμάτευση μου.
Σε ευχαριστώ ειλικρινά.

(*) Με όλες τίς συγγνώμες στους Επισκέπτες γιά το θέμα αυτό που πρότεινα, χωρίς την φράση "μη αμβλυγώνια τρίγωνα".

#5

Το θέμα Σωτήρη σχετίζεται με την κατασκευή που πρότεινες στο σύνδεσμο:
viewtopic.php?f=22&t=27505&p=134484#p134484
καθόσον τα δύο αυτά τρίγωνα έχουν:
1ο) Την ίδια ακτίνα $\displaystyle{R}$
2ο) $\displaystyle{a+b=a'+b'}$
3o) $\displaystyle{h_a+h_b=h'_{a'}+h'_{b'}}$

Έτσι αφού στην περίπτωση αυτή υπάρχουν δύο λύσεις (Αν από το ημίτονο της $\displaystyle{\hat{C}}$ λάβω την οξεία ή την αμβλεία λύση, κατά τη δική μου
διαπραγμάτευση στον ανωτέρω σύνδεσμο),άρα και στην προκείμενη τα δύο αυτά τρίγωνα θα έχουν δύο τρόπους συσχέτισης.
1ο) Αν $\displaystyle{\hat{C}=\hat{C'}}$ τότε τα τρίγωνα αυτά θα είναι ίσα.
2ο)Αν $\displaystyle{\hat{C}+\hat{C'}=180^o}$ , χωρίς και οι δύο να είναι ορθές τότε τα τρίγωνα είναι άνισα.

: Ισότητα τριγώνων.PNG (6.34 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

Η κατασκευή που έκανα είναι εξαρτώμενη από τις τρείς αυτές παραμέτρους( $\displaystyle{R, a+b, ha+hb}$ )
και έδωσε ένα στιγμιότυπο το οποίο και αναρτώ.

Κώστας Δόρτσιος

#6

Βάζω και την δική μου διαπραγμέτευση

Με τους συνήθεις συμβολισμούς έχουμε $h_a + h_b = b\sin{C} + a\sin{C} = (a+b)\sin{C}$ επομένως ισχύει ότι $\sin{C} = \sin{C_1}$ . Αφού λοιπόν το τρίγωνο είναι μη αμβυγώνιο τότε $\angle C = \angle C_1$ . Επίσης $c = 2R\sin{C} = 2R_1\sin{C_1} = c_1$ .

Από εδώ

1ος τρόπος

Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε $\displaystyle{ \cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{(a+b)^2 - c^2}{2ab} - 1}$ και ομοίως $\displaystyle{ \cos(C_1) = \frac{(a_1+b_1)^2 - c_1^2}{2a_1b_1} - 1}$ . Οπότε έχουμε και ab = a_1b_1

. Οπότε τόσο τα a,b

όσο και τα a_1,b_1

είναι λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{ x^2 - (a+b)x + ab = 0}$ και επομένως είτε a=a_1

και

είτε

και

. Αφού επιπλέον έχουμε δείξει ότι $\angle C = \angle C_1$ τα τρίγωνα είναι ίσα.

2ος τρόπος

Έστω κύκλος ακτίνας

και χορδή

του κύκλου μήκους

. Επειδή

γνωστό και η $\angle C$ οξεία (αν η $\angle C$ είναι ορθή τα πράγματα είναι πιο απλά) οι μόνες πιθανές θέσεις του

θα είναι τα σημεία τομής του μεγάλου τόξου

του κύκλου με την έλλειψη με εστίες τα A,B

όπου για κάθε σημείο της

είναι

. Υπάρχουν (το πολύ) δύο τέτοια σημεία τα οποία από συμμετρία δίνουν ίσα τρίγωνα, οπότε ο τύπος του ABC

καθορίζεται πλήρως από τα δεδομένα.

#7

Δημήτρη ωραία, στην περίπτωση που τα δύο τρίγωνα είναι μή αμβλυγώνια.
Όμως θα ήταν δυνατόν, όπως ανάφερα στη δεύτερη ανάρτησή μου, τα δύο τρίγωνα να
είναι και τα δύο αμβλυγώνια στη γωνία $\displaystyle{C}$ και να προκύψει ισότητα.

Κώστας Δόρτσιος

#8

Κώστα, έκανε διόρθωση ο Σωτήρης (δες την τέταρτη ανάρτηση) και πρόσθεσε την επιπλέον συνθήκη ότι τα δυο τρίγωνα είναι μη αμβλυγώνια.

Αν είναι και τα δύο αμβλυγώνια τότε όπως σωστά λες τα δυο τρίγωνα πάλι είναι ίσα.

themiskant · #9

Διαφορετικά
'Όπως έχει αποδειχθεί ισχύουν $\hat{C}=\hat{C_{1}}, AB=A_{1}B_{1}$ . Αν

είναι το μέσο του τόξου

του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC

και το $D_{1}$ είναι το μέσο του τόξου $A_{1}B_{1}$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $A_{1}B_{1}C_{1}$ τότε είναι $DA=DB=D_{1}A_{1}=D_{1}B_{1}=x$
Από το θεώρημα Πτολεμαίου στο τετράπλευρο CADB

ισχύει $CA\cdot x+CB\cdot x=AB\cdot CD\Leftrightarrow CD=\frac{\left(CA+CB \right)x}{AB}$ (1)
Ομοίως στο τετράπλευρο $C_{1}A_{1}D_{1}_B{1}$ ισχύει $C_{1}D_{1}=\frac{\left(C_{1}A_{1}+C_{1}B_{1} \right)x}{A_{1}B_{1}}$ (2)
Από τις (1),(2) προκύπτει ότι $CD=C_{1}D_{1}\Leftrightarrow \hat{A}=\hat{A_{1}}$ και $\hat{B}=\hat{B_{1}}$ . 'Αρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα

Δίνονται δύο ...

Δίνονται δύο ...

Re: Δίνονται δύο ...

Re: Δίνονται δύο ...

Re: Δίνονται δύο ...

Re: Δίνονται δύο ...

Re: Δίνονται δύο ...

Re: Δίνονται δύο ...

Re: Δίνονται δύο ...

Re: Δίνονται δύο ...

Μέλη σε σύνδεση