Συναρτησιακή για εξάσκηση

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xy) = xf(x)+yf(y) ,

για κάθε $x,y \in (0,1).$

nikoszan · #2

... $f\left( {xy} \right) = xf\left( x \right) + yf\left( y \right):\left( 1 \right)$ .Απο την $\left( 1 \right)$ προκύπτει ότι
$\left. 1 \right)f\left( {{x^2}} \right) = 2xf\left( x \right):\left( 2 \right)$
$\left. 2 \right)f\left( {{x^3}} \right) = f\left( {x.{x^2}} \right)\mathop = \limits^{\left( 1 \right)}$
$=xf\left( x \right) + {x^2}f\left( {{x^2}} \right)\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} xf\left( x \right) + {x^2}2xf\left( x \right) = \left( {2{x^3} + x} \right)f\left( x \right)$ $:\left( 3 \right)$
$\left. 3 \right)f\left( {{x^4}} \right) = f\left( {x.{x^3}} \right)\mathop = \limits^{\left( 1 \right)} xf\left( x \right) + {x^3}f\left( {{x^3}} \right)$ $\mathop = \limits^{\left( 3 \right)} xf\left( x \right) + {x^3}\left( {2{x^3} + x} \right)f\left( x \right) = \left( {2{x^6} + {x^4} + x} \right)f\left( x \right)$ $\,\,\,:\left( 4 \right)$
$\left. 4 \right)f\left( {{x^4}} \right) = f\left( {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right)\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} 2{x^2}f\left( {{x^2}} \right)\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} 2{x^2}2xf\left( x \right) = 4{x^3}f\left( x \right)\,:\left( 5 \right)$
Απο $\left( 4 \right)$ και $\left( 5 \right)$ προκύπτει οτι για κάθε $x \in \left( {0,1} \right)$ ισχύει $x\left( {x - 1} \right)\left( {2{x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} - x - 1} \right)f\left( x \right) = 0$ .
Αρα ειναι $f\left( x \right) = 0,\forall x \in \left( {0,1} \right) - A$ ,όπου

το σύνολο των ριζών της εξίσωσης $2{x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} - x - 1 = 0$ στο $\left( {0,1} \right)$ .
Ακόμη ,επαγωγικά ,με χρήση της $\left( 2 \right)$ αποδ. ότι για κάθε $n \in {N^*}$ και για κάθε $x \in \left( {0,1} \right)$ ισχύει $f\left( {{x^{{2^n}}}} \right) = {2^n}.{x^{{2^n} - 1}}f\left( x \right):\left( 6 \right)$ .
Εστω $r \in A$ ,τότε είναι φανερό ότι υπάρχει ${n_0} \in {N^*}$ ώστε ${r^{{2^n}}} \in \left( {0,1} \right) - A$ ,οπότε ,λόγω της $\left( 6 \right)$ ,εχουμε ${2^{{n_0}}}.{r^{{2^{{n_{0 - 1}}}}}}f\left( r \right) = f\left( {{r^{{2^n}}}} \right) = 0 \Rightarrow f\left( r \right) = 0$ .
Επομένως είναι $f\left( x \right) = 0,\forall x \in \left( {0,1} \right)$ .
Ν.Ζ.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=75137
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=174248

#4

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 17, 2012 6:50 pm
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y \in (0,1).$

Αλλιώς:

αλλά και

οπότε

και για

$2f(1)+zf(z)=f(1)+zf(1)+z^2f(z) \iff f(1)-zf(1)=(z^2-z)f(z) \iff f(z)=-\frac{f(1)}{z}$

και τελικά f(x)=0.

Συναρτησιακή για εξάσκηση

Συναρτησιακή για εξάσκηση

Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση

Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση

Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση

Μέλη σε σύνδεση