Συνεχής στο 0

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},$ συνεχείς στο x=0,

τέτοιες ώστε $\ f(2x)f(3x)=32^x$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},$ συνεχείς στο τέτοιες ώστε $\ f(2x)f(3x)=32^x$ (1), για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Στην (1) θέτουμε όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{\frac {x}{3}}$ και έχουμε

$\displaystyle{f\left(\frac {2x}{3}\right)f(x)=32^{\frac {x}{3}}}$ . Κάνοντας το ίδιο $\displaystyle{2n+1}$ φορές έχουμε:

$\displaystyle{f\left(\frac {2x}{3}\right)f(x)=32^{\frac {x}{3}}}$

$\displaystyle{32^{\left(\frac {x}{3}\right)\frac {2}{3}}=f\left(\left(\frac {2}{3}\right)^2x\right)f\left(\frac {2}{3}x\right)}$

$\displaystyle{...}$

$\displaystyle{32^{\frac {x}{3}\left(\frac {2}{3}\right)^{2n-1}\right)=f\left(\left(\frac {2}{3}\right)^{2n}x\right)f\left(\left(\frac {2}{3}\right)^{2n-1}x\right)}$

$\displaystyle{f\left(\left(\frac {2}{3}\right)^{2n+1}x\right)f\left(\left(\frac {2}{3}\right)^{2n}x\right)=32^{\frac {x}{3}\left(\frac {2}{3}\right)^{2n}\right)}$

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη έχουμε:

$\displaystyle{f(x)f\left(\left(\frac {2}{3}\right)^{2n+1}x\right)=32^{\frac {x}{3}\left(\sum_{k=0}^{k=2n}\left(-\frac {2}{3}\right)^k\right)}}$

Και παίρνοντας όρια με το $\displaystyle{n \to \infty}$ έχουμε:

$\displaystyle{f(x)f(0)=32^{\frac {x}{5}}$ (2)

Στην (1) για $\displaystyle{x=0}$ έχουμε $\displaystyle{f(0)=\pm1}$

Άρα έχουμε δύο λύσεις:

$\displaystyle{f(x)=32^{\frac {x}{5},\ \x \in \Bbb{R}}$ και $\displaystyle{f(x)=-32^{\frac {x}{5},\ \x \in \Bbb{R}}$ , που επαληθεύουν την αρχική.

Συνεχής στο 0

Συνεχής στο 0

Re: Συνεχής στο 0

Μέλη σε σύνδεση